Graphique $x = 2 + e^{-\frac{1}{2}x}$

Question

Ma question porte spécifiquement sur la partie 2.

La constante $a$ est telle que $$\int_0^a x\mathrm e^{\frac12x}\,\mathrm dx=6\text.$$

1. Montre CA $a$ satisfait l'équation $$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}\text.$$
2. En esquissant une paire de graphiques appropriée, montrez que cette équation n'a qu'une seule racine.
3. Vérifiez par calcul que cette racine se situe entre $2$ et $2.5$.
4. Utilisez une formule itérative basée sur l'équation de la partie 1 pour calculer la valeur de $a$ corriger à $2$décimales. Donnez le résultat de chaque itération à$4$ décimales.

J'ai réussi à changer l'intégrale dans la forme donnée: $$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}$$

Maintenant pour le croquis. Je ne sais pas trop comment je suis censé esquisser ce graphique. Je connais le graphe général de la fonction exponentielle, mais en$x = 2 + \mathrm e^{-\frac{1}{2}x}$, Je n'ai pas de $y$!

Quelqu'un peut-il entrer dans les détails? Je ne peux pas encore comprendre la plupart de cela, donc les détails m'aideraient à voir la lumière.

Answer 1

Vous pouvez dessiner $f(x)=x$. Clairement$f(0)=0$ et $f(3)=3$.

Regardons maintenant $g(x)=2+e^{-\frac{x}{2}}$. Nous avons$g(0)=3$, $g(3)=2+e^{-\frac{3}{2}}<3,$$\ lim_ {x \ rightarrow \ infty} g (x) = 2 $ et $ \ lim_ {x \ rightarrow- \ infty} g (x) = \ infty. $

Alors $ g (0)> f (0) $ et $ g (3) <f (3) $ . Donc en esquissant les deux graphiques, nous pouvons voir qu'il existe une solution pour $ x \ in (0,3) $ . Regardez ici .

Answer 2

Pour la partie (iii), vous devriez trouver que pour $g(x) = x - \left(2 + e^{-\frac{1}{2}x} \right)$, $g(2) > 0$ et $g(2.5) < 0$. Ensuite, utilisez IVT pour montrer l'existence d'une racine entre$2$ et $2.5$.