Groupe ext de $\mathbb{Z}[1/p]$

Question

J'essaye de calculer $\operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^1(\mathbb{Z}[1/p],\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}_p/\mathbb{Z}$.

Maintenant j'ai la résolution projective $$0\rightarrow \bigoplus_{i>1}\mathbb{Z}\xrightarrow{\alpha} \mathbb{Z}\oplus \bigoplus_{i>1}\mathbb{Z}\xrightarrow{\beta} \mathbb{Z}[1/p]\rightarrow 0 .$$ La carte $\alpha$ est donné par $(a_i)_{i>0}\mapsto (-\Sigma a_i, a_ip^i)$ et $\beta$ est donné par $(b_i)_{i\geq 0}\mapsto \Sigma_{i\geq 0} b_i/p^i$.

Maintenant, appliquez le $\operatorname{Hom}(-,\mathbb{Z})$, Je veux calculer le noyau de la carte dualisée $\prod_{i>1}\mathbb{Z}\xleftarrow{\alpha^*} \mathbb{Z}\prod (\prod_{i>1} \mathbb{Z})$ qui est donné par $(f_0,0,\dots)\mapsto f_0'$ et $(0,\dots,f_i,\dots )\mapsto (0,\dots,p^if_i,\dots )$, où $f_0': \prod_{i>1}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$, $f_0'((a_i))=f_0(\Sigma a_i)$. Y a-t-il un moyen de voir quel est ce noyau et comment le quotient de$\prod_{i>1} \mathbb{Z}$ par ce noyau est $\mathbb{Z}_p/\mathbb{Z}$?

Answer 1

Faisons cela par des résolutions injectives à la place. j'écrirai$A$ pour $\Bbb Z[1/p]$. ensuite$$0\to\Bbb Z\to\Bbb Q\to\Bbb Q/\Bbb Z\to0$$ donne une résolution injective de $\Bbb Z$. Donc$\text{Ext}^1(A,\Bbb Z)$ est le cokernel de $$\text{Hom}(A,\Bbb Q)\to\text{Hom}(A,\Bbb Q/\Bbb Z).$$ C'est facile de voir ça $\text{Hom}(A,\Bbb Q)\cong\Bbb Q$ via $f\mapsto f(1)$. Qu'est-ce qu'un élément de$\text{Hom}(A,\Bbb Q/\Bbb Z)$? Il est complètement décrit par$f(1/p^k)=a_k+\Bbb Z$ où $a_k\in\Bbb Q$ et $pa_{k+1}-a_k\in\Bbb Z$. L'image de$\text{Hom}(A,\Bbb Q)$ se compose de ceux $f$ où $f(1/p^k)=a/p^k$ pour certains $a\in\Bbb Q$. Nous pouvons soustraire l'un de ceux-ci du général$f$ et supposons que $a_0=0+\Bbb Z$ et puis encore $pa_{k+1}-a_k\in\Bbb Z$. ensuite$a_k=b_k/p^k$ où $b_k\in\Bbb Z$ et $b_k$ est défini modulo $p^k$; également$b_{k+1}\equiv b_k \pmod{p^k}$. Ainsi, le$(b_k)$ représente un élément $b$ du $p$-entiers adiques $\Bbb Z_p$.

Nous avons encore une certaine liberté dans le choix $a$; nous avons besoin$a+\Bbb Z=f(0)+\Bbb Z$, donc nous pouvons encore changer $a$ par un entier, qui change $b$par un entier. Ainsi, le cokernel est isomorphe à$\Bbb Z_p/\Bbb Z$.

Je suis sûr que tout cela peut être fait par des limites directes et inverses ...