$I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$ pour chaque théorie $T$, chaque cardinal $\lambda$.

Question

Laisser $T$ être une théorie complète du premier ordre.

En supposant $\lambda \geq |L(T)| + \aleph_0$, est-il évident que $I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$? La question a été soulevée en regardant la conjecture de Vaught sur wikipedia. Je n'ai pas beaucoup de connaissances en théorie des modèles, donc cela peut être évident et je suis juste stupide ou cela peut utiliser une technologie que je n'ai pas encore couverte. Ou est-ce peut-être vrai seulement quand$\lambda = \aleph_0$ ?

La seule chose à laquelle je peux penser est de compter le nombre de modèles non isomorphes en fonction des types qu'ils satisfont, mais je ne pense pas que cela fonctionne tout à fait.

Answer 1

Dans le cadre que vous décrivez, il y a au plus $2^\lambda$ $L$-structures, et donc certainement pas plus de $2^\lambda$ classes d'isomorphisme des modèles de $T$.

Réparer un $\lambda \geq |L|+\aleph_0$, et laissez $M$ être un ensemble de cardinalité $\lambda$.

Pour chaque $n$-ary symbole de fonction $f$ il faut interpréter $f$ en tant que fonction $f : M^n \to M$. Il y a exactement$\lambda^{(\lambda^n)} = 2^\lambda$de nombreuses fonctions parmi lesquelles choisir. De même, pour chaque$n$-ary relation symbole que nous avons $2^\lambda$ options à choisir, et pour chaque symbole constant, nous n'avons que $\lambda$ options à choisir.

Ainsi pour chaque symbole de la langue nous avons au plus $2^\lambda$les choix. Puisqu'il y a au plus$\lambda$ symboles dans la langue, le nombre total de choix que nous devons faire est au plus $(2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \times \lambda} = 2^\lambda$.