Identification du système d'équation de différence

Question

Supposons que j'ai une équation de différence modélisant un véhicule comme celui-ci:

$$d[k+1]=d[k]+a\cdot u[k]+b,\tag1\label{eq}$$

où $d[k]$ est la distance totale parcourue à la fois $k$, $u[k]$ est l'entrée du moteur au moment $k$ (par exemple, une certaine mesure de l'effort du moteur à ce moment-là, pas vraiment important exactement ce que c'est), et $a, b$ sont des paramètres que je souhaite estimer à partir de points de données que je mesure, par exemple par les moindres carrés.

D'après l'équation de différence, je vois que les unités de $a\cdot u[k]$ et $b$besoin d'être à distance. Mais supposons que les données que je rassemble sont en fait des échantillons de la vitesse du véhicule (pas de la position) pour une plage de valeurs d'entrée, afin que je puisse tracer la vitesse en fonction de l'entrée du moteur.

Ma question: je suis confus car il semble qu'il ne serait pas logique de faire une régression des moindres carrés pour ajuster$a\cdot u[k]+b$à ces points car cela violerait les unités, mais c'est ce qui est fait dans un exemple dans mon cours. Une fois les paramètres déterminés, l'exemple utilise ensuite ces mêmes paramètres pour modéliser la distance parcourue dans le temps via$\eqref{eq}$, partant d'une certaine distance de départ initiale $d[0]$. Est-ce que je manque quelque chose dans cet exemple?

Answer 1

Notez que pour un petit intervalle d'échantillonnage $T$, $\big(d[k+1]-d[k]\big)/T$est une bonne approximation de la vitesse. Alors si tu es en forme$au[k]+b$ à un ensemble de mesures donné $v[k]$, il est valable de conclure

$$d[k+1]=d[k]+T\big(au[k]+b\big)\tag{1}$$

Dans le texte auquel vous faites référence, ils auraient pu normaliser $T$, donc il change les unités sans changer les valeurs de $a$ et $b$.