Inégalité GKS avec condition aux limites
Je veux savoir si la version suivante de l'inégalité GKS avec condition aux limites pour le modèle Ising tient ou non. Considérez le modèle Ising sur$\mathbb{Z}^d$ et $\varnothing \neq A\subset \Lambda_1 \subset \Lambda_2 \subset \mathbb{Z}^d$. Laisser$x \in \Lambda_1 \setminus A$ et $\eta_A$ être une configuration fixe sur $A$. Est-ce que ce qui suit est vrai? \ begin {equation} \ langle \ sigma_x \ rangle _ {\ Lambda_1} ^ {\ eta_A} \ leq \ langle \ sigma_x \ rangle _ {\ Lambda_2} ^ {\ eta_A}, \ qquad (\ star) \ end {equation} où$\langle \cdot \rangle_{\Lambda}^{\eta}$ est-ce que l'espérance de Gibbs mesure $\Lambda$ avec condition aux limites $\eta$.
Je sais que l'inégalité GKS originale fonctionne avec une condition aux limites libre, c'est-à-dire $A=\varnothing$, et implique que pour tous $B \subset \Lambda_1$ on a $\langle \sigma_B \rangle_{\Lambda_1} \leq \langle \sigma_B \rangle_{\Lambda_2}$, avec $\sigma_B=\prod_{y\in B} \sigma_y$.
Alors, pouvons-nous prouver ou réfuter l'inégalité $(\star)$?
Merci.
Mise à jour après le commentaire du professeur Yvan Velenik.
Comme le montre Yvan, l'inégalité $(\star)$ n'est pas correct dans le cadre général.
Je travaille avec un paramètre particulier comme suit. Considérons un graphe connecté$G$ contenant plusieurs composants: $G=A\cup B \cup C$, où $V(A)\cap V(B)=\varnothing$, il n'y a qu'un seul bord, disons $\{x,y\}$ entre $A$ et $B$ avec $y \in A$ et $x \in B$; et$C=D \cup E$ avec $D\cap A = \varnothing$, $E\cap B=\varnothing$ et $B$ est connecté à $D$ et $E$ est connecté aux deux $A$ et $D$. La question est encore à vérifier
$$\langle \sigma_x \rangle^{\eta_A}_{B} \leq \langle \sigma_x \rangle^{\eta_A}_G ? \qquad (1)$$
Je suis désolé pour la construction compliquée de $G$. En fait, j'examine l'affaire$G$est un graphe aléatoire localement comme un arbre. Je veux tronquer la mesure Gibbs sur$G$ à la mesure sur une balle (disons $B$) autour du sommet $x$. Donc on peut s'attendre$A$ et $B$ sont très proches des arbres (il n'y a que quelques cycles $A\cup B$). Présumer$|G|=n$ et $|A\cup B|$ est plus ou moins $(\log n)^3$.
Si l'inégalité n'est pas vraie, peut-on s'attendre à une approximation comme $$\langle \sigma_x \rangle^{\eta_A}_{B} \leq \langle \sigma_x \rangle^{\eta_A}_G + o_n(1)? \qquad (2)$$
où $o_n(1)$ ne dépend que de $n$.
Merci.
Réponses
Vous pouvez considérer les mesures dans $\Lambda_1\setminus A$ et $\Lambda_2\setminus A$ avec condition aux limites libres, remplaçant l'effet de $\eta_A$ par un champ magnétique approprié agissant sur les sommets à la limite extérieure de $A$. Si ce champ magnétique induit est non négatif, alors votre inégalité$(\star)$est juste GKS. C'est en particulier le cas si$\eta_A$ a seulement $+$ tourne le long de la limite intérieure de $A$.
En général, cependant, l'inégalité $(\star)$ne tient pas. S'il était vrai pour les conditions aux limites générales$\eta$, alors vous obtiendrez des résultats absurdes. En effet, considérons le modèle d'Ising sans champ magnétique. Puis,$$ \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_1}^{\eta_A} = -\langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_1}^{-\eta_A} \geq -\langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_2}^{-\eta_A} = \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_2}^{\eta_A}, $$ où les deux égalités suivent la symétrie spin-flip, et l'inégalité de $(\star)$. Depuis, par$(\star)$tu aurais aussi $$ \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_1}^{\eta_A} \leq \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_2}^{\eta_A}, $$ on en déduirait que $\langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_1}^{\eta_A} = \langle\sigma_x\rangle_{\Lambda_2}^{\eta_A}$, ce qui est facilement considéré comme faux en général.
Ce que j'entends par "remplacer l'effet de$\eta_A$ par un champ magnétique approprié agissant sur les sommets à la limite extérieure de $A$" est la suivante: l'énergie dans$\Lambda_1\setminus A$, étant donné qu'il existe une condition aux limites $\eta_A$ au $A$, est $$ - \sum_{\{i,j\}\subset\Lambda_1\setminus A} J_{i,j}\sigma_i\sigma_j - \sum_{i\in \Lambda_1\setminus A}\sum_{j\in A} J_{i,j}\sigma_i\eta_j = - \sum_{\{i,j\}\subset\Lambda_1\setminus A} J_{i,j}\sigma_i\sigma_j - \sum_{i\in \Lambda_1\setminus A} \Bigl(\sum_{j\in A} J_{i,j}\eta_j \Bigr) \sigma_i , $$ de sorte que l'effet de la condition aux limites puisse être vu comme des champs magnétiques effectifs $h_i$ agissant sur les sommets $i\in\Lambda_1\setminus A$ et donné par $$ h_i = \sum_{j\in A} J_{i,j}\eta_j. $$