Infimum d'un ensemble simple

Question

J'ai du mal à prouver le minimum d'un ensemble simple comme $S=\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\;;\;n\in\mathbb{N}\right\}$ ce que je ferais d'abord, c'est remarquer que $n\geq 1$ impliquerait que $2^{n}\geq 2\implies \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\geq \frac{2}{3^{n}}$ et donc on peut voir que $0$ est le minimum mais je ne sais pas comment utiliser correctement la propriété archimédienne ici pour montrer que $0$ est la plus grande borne inférieure de $S$.

Answer 1

L'ensemble $S$ se compose uniquement de nombres positifs, de sorte qu'aucun nombre positif n'est un $\inf$ (c'est-à-dire, pour tout $\varepsilon$ nombre il y a un élément de $S$ qui est plus petit que $\varepsilon$). Pour montrer qu'il faut trouver pour tout$\varepsilon$ qu'un $n$ existe de telle sorte que $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{n} \le \varepsilon \\ \overset{\ln(\cdot)}{\implies}\quad n\ln\left(\frac{2}{3}\right) \le \ln(\varepsilon) \quad\overset{(\cdot)/\ln\left(\frac{2}{3}\right)}{\implies}\quad n \ge \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)} $$ le dernier signe d'inégalité a été inversé en raison de la division par $\ln(2/3)$, ce qui est négatif.

Cela signifie que le $\inf$en non-positif (négatif ou zéro). L'inf ne peut pas être négatif car pour tout négatif, il y a un plus grand négatif comme borne inférieure. Il reste donc zéro