$\int_{\Bbb{T}} e_n(\lambda) |\varphi(\lambda)|^2 = 0$ pour tous $n \neq 0$ implique $|\varphi|^2$ est presque sûrement constant

Question

Considérez le groupe du cercle $\Bbb{T}\subseteq \Bbb{C}$ avec sa mesure Haar $d \lambda$. J'ai la situation suivante:$\varphi \in L^2(\Bbb{T})$ a la norme $1$, c'est à dire $$\Vert \varphi\Vert_2^2 = \int_\Bbb{T} |\varphi|^2 d \lambda=1$$ Mettre $e_n(\lambda) = \lambda^n, n \in \Bbb{Z}$. Nous avons la situation suivante$$n \neq 0 \implies \int_\Bbb{T} e_n |\varphi|^2 d \lambda = 0$$

Puis-je en déduire $|\varphi|^2$ est constant presque sûrement?

Tentative: j'ai essayé de montrer que $|\varphi|^2 \in L^2(\Bbb{T})$, pour que $$|\varphi|^ 2 = \sum_{n \in \Bbb{Z}}\langle |\varphi|^2, e_n\rangle e_n= \langle |\varphi|^2, e_0\rangle e_0$$par le théorème de Plancherel. Cependant, je ne parviens pas à montrer que$|\varphi|^2 \in L^2(\Bbb{T})$

Answer 1

Vous avez $g := |\varphi|^2 \in L^1(\mathbb{T})$ et $$\widehat{g}(n) = \int_{\mathbb{T}} g(x) \cdot \overline{x}^n \, dx = \int_{\mathbb{T}} e_{-n}(x) \cdot |\varphi(x)|^2 \, dx = 0$$ pour toute $n \in \mathbb{Z}$ avec $n \neq 0$. en outre$$\widehat{g}(0) = \int_{\mathbb{T}} |\varphi(x)|^2 \, dx = 1.$$ Vérifiez maintenant que la fonction constante $1 \in L^1(\mathbb{T})$ satisfait aussi $\widehat{1}(n) = 0$ pour $n \in \mathbb{Z}$ avec $n \neq 0$ et $\widehat{1}(0) = 1$. ensuite$\widehat{g-1} = 0$ et donc $g = 1$presque partout par l'explication de votre dernière question .