Intégrer sans utiliser Cosine Integral?

Question

Alors j'ai montré que $\int_{-1}^{1} \sin{\frac{1}{x}} dx$est intégrable en utilisant des théorèmes spécialisés pour l'intégrabilité. Ma question est de savoir si je voulais calculer cette intégrale maintenant, y a-t-il un moyen de le faire sans utiliser l'intégrale cosinus$Ci(x)$après intégration par pièces. Ce que je veux dire, c'est que je suis arrivé jusqu'ici:

$\int_{-1}^{1}\sin{\frac{1}{x}}dx = x\sin{\frac{1}{x}}\Big|_{-1}^{1}+\int_{-1}^{1}\frac{\cos{\frac{1}{x}}}{x} dx$

Alors, y a-t-il un moyen d'évaluer l'intégrale $\int_{-1}^{1}\frac{\cos{\frac{1}{x}}}{x} dx$ sans utiliser $Ci(x)$?

Answer 1

Puisque $\;f(x)=\cfrac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x}\;$ est une fonction étrange, il en résulte que $$\int_{-1}^{1}\cfrac{\cos{\frac{1}{x}}}{x} dx=0\;.$$