Isomorphisme avec fonction Ext

Question

Supposer que $M$ est un rang gratuit $n$ $R$-module et de plus, supposons un groupe $G$ agit sur $M$ et le $G$-action fait la navette avec le $R$-action. Par conséquent, nous avons un homomorphisme$\rho: G \rightarrow \text{GL}_n(R)$. Cela nous donne à son tour un$G$-action sur $\text{End}_R(M)$ via $g\cdot \phi = \rho(g) \phi \rho(g)^{-1}$. Maintenant c'est$$\text{Ext}^1_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}, \text{End}_R(M)) \cong \text{Ext}^1_{R[G]}(M,M)?$$Je sais que les ensembles sont en bijection via un argument plutôt détourné, mais je me demande s'il y a un simple isomorphisme de groupe qui se cache ici. Existe-t-il également des isomorphismes correspondants des groupes Ext supérieurs?

Answer 1

Laissez d'abord $A$ être quelconque $\mathbb{Z}[G]$-module, et $M$ et $N$ tout $R[G]$-modules.

Il existe un isomorphisme naturel de $R$-modules $$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(A,\operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)) \cong \operatorname{Hom}_{R[G]}\bigl(A\otimes_{\mathbb{Z}}M,N\bigr)$$ (où $G$ agit sur $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ par $(g\cdot\varphi)(m)=g\varphi(g^{-1}m)$ et sur $A\otimes_{\mathbb{Z}}M$ par $g\cdot(a\otimes m)=(ga)\otimes(gm)$), donné par $$\theta\mapsto[a\otimes m\mapsto \theta(a)(m)]$$ avec inverse $$\psi\mapsto [a\mapsto[m\mapsto\psi(a\otimes m)]].$$

A partir de maintenant, supposons que $A$ est un projectif $\mathbb{Z}[G]$-module et $M$ est projectif comme un $R$-module. Puis en tant que foncteurs de$R[G]$-modules à $R$-modules, $$\operatorname{Hom}_{R[G]}(A\otimes_{\mathbb{Z}}M, -)\cong \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(A,\operatorname{Hom}_R(M,-)\bigr),$$ ce qui est exact, donc $A\otimes_{\mathbb{Z}}M$ est un projectif $R[G]$-module.

L'application de ces foncteurs de $A$ à une résolution projective $P_*$ du $\mathbb{Z}[G]$-module $\mathbb{Z}$, nous obtenons des complexes de chaînes isomorphes $$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(P_*,\operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)) \cong \operatorname{Hom}_{R[G]}\bigl(P_*\otimes_{\mathbb{Z}}M,N\bigr).$$

L'homologie du premier est $\operatorname{Ext}^*_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(\mathbb{Z}, \operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)$, et depuis $P_*\otimes_{\mathbb{Z}}M$ est une résolution projective de$M$ comme un $R[G]$-module) l'homologie du second est $\operatorname{Ext}^*_{R[G]}(M,N)$.

En particulier, si $M=N$ cela donne des isomorphismes naturels de $R$-modules $$\operatorname{Ext}^n_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(\mathbb{Z},\operatorname{End}_R(M)\bigr)\cong \operatorname{Ext}^n_{R[G]}(M,M)$$ pour chaque $n$.