L'axiome implique-t-il son double?

Question

Supposons que nous ayons l'axiome suivant pour le plan projectif:

Axiome : Si une projectivité laisse invariant chacun des trois points distincts sur une ligne, il laisse invariant chaque point de la ligne.

Le dual de cet axiome est la déclaration suivante:

Dual : Si une projectivité laisse invariante chacune des trois lignes distinctes, qui sont concurrentes en un point, elle laisse invariante chaque ligne passant par ce point.

Maintenant, j'ai besoin de prouver qu'Axiom $\Rightarrow$ Double .

Ma mauvaise tentative de preuve : laissez les trois lignes$a,b,c$, concurent à $O$ être les lignes laissées invariantes par la projectivité, et $l$ être n'importe quelle autre ligne à travers $O$. Si nous pouvons prouver que trois points sur$l$ sont laissés invariants par cette projectivité, alors nous aurons que tous les points sur $l$ sont laissées invariantes par la projectivité, ce qui impliquerait que $l$ lui-même est laissé invariant, et nous aurons terminé, car nous avons pris toute ligne arbitraire à travers $O$.

Maintenant nous savons que $O$est laissé invariant par la projectivité. Pour tout autre point, dites$P$, sur $l$, laisse passer une ligne $P$ autre que $l$, intersecter $a, b$ et $c$ aux points $A,B$ et $C$, respectivement. Maintenant si$A,B,C$ sont laissés invariants par la projectivité, alors $P$, un point sur la ligne $AB$, sera également laissé invariant. Depuis$P$ est un point arbitraire sur $l$, ceci est vrai pour tous les points sur $l$ et nous avons terminé.

Cependant les lignes$a,b,c$ être invariant n'implique pas que les points $A,B,C$sera laissé invariant par la projectivité . C'est là que je suis coincé.

Veuillez partager vos idées pour me pousser dans la bonne direction.

Answer 1

Vous pouvez considérer une projectivité comme une séquence alternée de points et de lignes et les séquences de perspectives qu'elles représentent. Pour un exemple simple,$(\ell_1,P_2,\ell_3)$ représente la perspective entre les lignes $\ell_1$ et $\ell_3$ avec centre $P_2$. Et ($P_2,\ell_3,P_4$) est la perspective avec axe $\ell_3$ entre les crayons à $P_2$ et $P_4$. ($\ell_1,P_2,\ell_3,P_4,\ell_5$) est une projectivité $\ell_1\rightarrow\ell_5$ c'est la composition de deux perspectives $\ell_1\rightarrow\ell_3\rightarrow\ell_5.$

Laisser $(P_1,\ell_2,\dots,P_1)$ être une projectivité qui laisse trois lignes dans le crayon à $P_1$invariant, mais pas le crayon entier. Alors considérez$(\ell_2,\dots,P_1,\ell_2)$. C'est peut-être déjà plus que le coup de pouce que vous avez demandé, mais je laisserai l'étape finale comme un spoiler.

$(\ell_2,\dots,P_1,\ell_2)$ est une projectivité qui viole l'Axiom.