La probabilité que le code de correction d'erreur fonctionne

Question

Considérez un peu (par exemple $0$) dupliquer $n$ fois dans certains appareils:
$$[0]_n = (0,0,\dots, 0).$$ Au cours d'une procédure, laissez $p$soit la probabilité qu'un bit change par erreur. Pour que le code de correction d'erreur fonctionne, nous avons besoin du bit$0$être toujours à la majorité stricte après la procédure. Voici la probabilité que cela se produise:$$ P(n,p)= \sum_{k=0}^{\left\lceil n/2 - 1 \right\rceil} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.$$

Question: Est-il possible de calculer * cette somme en général?

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* Par calculer, je veux dire quelque chose comme les exemples suivants:
$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n,$$ $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}=1,$$ $$\sum_{k=0}^n p^k = \frac{1-p^{n+1}}{1-p}.$$

Answer 1

La forme précise de la fonction de distribution cumulative de la distribution binomiale est un peu compliquée, mais maniable. Vous pouvez utiliser certaines limites .

En fonction de votre $p$ et $n$, vous pourrez peut-être vous en tirer avec l'approximation normale du théorème binomial ou De Moivre – Laplace .

Il existe également un certain nombre d'autres approximations sur Wikipedia