$\Lambda/\mathfrak{r}\cong \operatorname{soc}(\Lambda)$ comme critère d'auto-injectivité
J'ai travaillé sur les exercices d'Auslander, Reiten et Smalø's Representation Theory of Artin Algebras , et je suis resté coincé sur leur exercice 4.12, qui demande:
Laisser $\Lambda$ être une algèbre d'Artin telle que $\Lambda/\mathfrak{r}\cong \operatorname{soc}(\Lambda)$. Prouve-le$\Lambda$ est auto-injectable.
où $\mathfrak{r}$ est le radical Jacobson de $\Lambda$.
Auparavant dans le livre, il y a un raisonnement qui résout le problème dans le cas où $\Lambda$est commutative. Un résultat de plus tôt dit que si$A$ est tout semi-simple $\Lambda$-module, et $P\to A$ est sa couverture projective, puis il a une enveloppe injective $A\to D(P^*)$, où $A^* := \mbox{Hom}_\Lambda(A, \Lambda)$ comme un bon module et $D$ est la dualité standard entre $\Lambda$-mod et $\Lambda^{\operatorname{op}}$-mod.
Donc en particulier, depuis $\Lambda\to \Lambda/\mathfrak{r}$ est une couverture projective, nous avons également une enveloppe injective $\Lambda/\mathfrak{r}\to D(\Lambda^*)$. Par hypothèse, nous avons une enveloppe injective$\mbox{soc}(\Lambda)\to D(\Lambda^*)$. Par contre, pour tout module$A$, l'enveloppe injective de $\mbox{soc}(A)$ facteurs par celui de $A$, donc il y a une enveloppe injective $\Lambda\to D(\Lambda^*)$.
Maintenant, $\Lambda^* := \mbox{Hom}_\Lambda(\Lambda, \Lambda)$ est juste isomorphe à $\Lambda$ comme un droit $\Lambda$-module. Si$\Lambda$est commutative, nous avons que sa longueur en tant que module de gauche et sa longueur en tant que module de droite sont les mêmes; puisque la dualité préserve la longueur, nous avons$\ell(\Lambda) = \ell(D(\Lambda^*))$, ce qui signifie l'enveloppe injective $\Lambda\to D(\Lambda^*)$ est un isomorphisme, et $\Lambda$ est injectif.
Cependant, l'exercice 4.12 ne fait aucune hypothèse de commutativité. Ce raisonnement fonctionnera-t-il toujours dans ce cas?
Ce serait bien de montrer que les longueurs de toute algèbre Artin en tant que module gauche et droit sur lui-même sont les mêmes, mais comme ce n'est pas le cas des anneaux généraux d'Artin, je ne suis pas sûr de pouvoir espérer cela - est-ce vrai ? Alternativement, il suffirait de montrer sous cette hypothèse que l'isomorphisme de$\Lambda/\mathfrak{r}$ et $\mbox{soc}(\Lambda)$ vaut aussi pour $\Lambda^{\operatorname{op}}$, puisque le raisonnement ci-dessus montre indépendamment de la commutativité que la longueur gauche de $\Lambda$ est inférieure ou égale à sa longueur droite, mais je ne sais pas comment je pourrais relier les socles gauche et droit d'un anneau.
Réponses
Ce n'est pas vrai pour une algèbre générale d'Artin que sa longueur en tant que module droit soit égale à sa longueur en tant que module gauche. Par exemple, l'Artin$\mathbb{R}$-algèbre $$\pmatrix{\mathbb{R}&\mathbb{C}\\ 0&\mathbb{C}}$$ a la longueur $3$ comme un bon module, mais en longueur $4$ comme module de gauche.
Mais cela n'a pas d'importance si vous considérez simplement les longueurs au-dessus du centre de l'algèbre d'Artin au lieu de l'algèbre elle-même. Supposer$\Lambda$ est un Artin $R$-algèbre. ensuite$$\ell_R(\Lambda)=\ell_R(D(\Lambda^*)),$$ et donc un injectif $\Lambda$-homomorphisme du module (ou même simplement $R$-homomorphisme du module) $\Lambda\to D(\Lambda^*)$ doit être un isomorphisme.