Le «vrai effet papillon»
Cette question découle de la confusion que je ressens après avoir lu ce billet de blog populaire de Sabine Hossenfelder. Il est basé sur ce papier qui est malheureusement payant.
La réclamation est la suivante:
Au contraire, comme présenté dans son article Tellus de 1969, Lorenz voulait que l'expression décrive l'existence d'une barrière de prédicabilité à temps fini absolu dans certains systèmes de fluides multi-échelles, impliquant une rupture de la dépendance continue des conditions initiales pour des délais de prévision suffisamment grands.
La rupture de la continuité m'a complètement surpris, et en fait, voici mon brouillon de la preuve de l'inverse:
- Considérons l'espace vectoriel linéaire des fonctions avec un support compact sur l'espace des phases, augmenté de l'habituel $L_2$ norme.
- Définir l'action de l'hamiltonien (classique) sur les fonctions par $ \hat{H} A = - i \left\{H, A \right\}_{PB}$. Observez qu'avec cette définition, l'opérateur est auto-adjoint (peut être prouvé par un argument impliquant l'intégration par parties).
- Selon le théorème de Stone , il doit y avoir un groupe 1-paramétrique fortement continu de traductions temporelles, par conséquent la rupture de la dépendance continue aux conditions initiales est impossible.
Puisque ma conclusion contredit apparemment la conclusion dans l'abstrait de Palmer et al., J'aimerais savoir ce qui ne va pas exactement qui peut conduire à une barrière de prévisibilité en temps fini dans les systèmes présentant le "vrai effet papillon".
Mise à jour: un argument beaucoup plus simple par un de mes amis: prendre$U(T/2)$ (opérateur d'évolution associé à l'intervalle de temps $T/2$ où $T > 0$est la barrière supposée de la prévisibilité). Par construction, il est continu, car$T / 2 < T$. Par conséquent,$U(T/2)^4 = U(2T)$est également continue. Cela nous permet de voir dans le futur plus lointain que la barrière avec un opérateur continu, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse d'origine. Nous concluons que$T$ doit être infini ou nul.
Réponses
Il y a quelques problèmes avec la publication sur le site Web. Je ne peux pas comprendre comment passer des équations de Navier-Stokes , qui sont des PDE , à un système ODE (les équations de Lorenz?) Qui semblent faire l'objet de la discussion (en regardant également la formulation de la question par le professeur Legolasov). Malheureusement, je n'ai pas accès au journal.
D'un point de vue purement mathématique, tout est clair, de sorte que le problème doit concerner la modélisation physique : une certaine décomposition de la description mathématique devrait avoir lieu à un certain niveau pour des raisons physiques, mais sans lire l'article, il est difficile d'en discuter.
Voici une brève description du scénario mathématique concernant la dépendance aux données initiales.
Tout système ODE (autonome) comme celui de Lorenz peut être écrit comme$$\frac{dx}{dt} = F(x(t))\tag{1}$$ où $x\in M$, $M$ être certains $C^k$ collecteur et $F$ une $C^k$ champ vectoriel sur $M$ avec $k\geq 1$.
Maintenant, c'est un résultat standard de la théorie ODE que, si $x=x(t|x_0)$ est la solution maximale de (1) avec la condition initiale $x(0)= x_0\in M$, ainsi défini dans un intervalle ouvert $I_{x_0}\ni 0$, puis
(1) l'ensemble $$D:= \left\{(t,x_0) \in \mathbb{R}\:\left|\: t \in I_{x_0}, x_0 \in M \right.\right\}$$ est ouvert dans $\mathbb{R}\times M$
(2) la carte $$\Phi : D\ni (t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0):= x(t,x_0) \in M$$ est conjointement $C^k$ (et $C^{k+1}$ dans la variable $t$).
Par conséquent, dans le domaine complet de la solution, il y a un $C^k$(donc continue) la dépendance des données initiales. En particulier, lors de la réparation de certains$T$, la carte $$M_T \ni x \mapsto \Phi_T(x)\:,$$ où $M_T = \{x \in M \:|\: (x,T) \in D\}$, est nécessairement continue.
Si au contraire on a affaire à des PDE correctes, des équations de Navier-Stokes précisément, les choses sont beaucoup plus délicates et, comme on le sait très bien. La simple preuve d'un théorème d'existence et d'unicité pour des données initiales données (qui sont maintenant des fonctions) pose problème. La dépendance continue de la date initiale est encore plus problématique.
En ce qui concerne la suggestion du professeur Legolasov, j'éprouve quelques problèmes.
(a) Faisons-nous référence au système ODE de Lorenz? Ce n'est pas hamiltonien car la variété a une dimension étrange, alors qu'est-ce que$H$?
(b) Utilisons-nous plutôt une structure de Poisson non symplectique?
(c) Ensuite, même en se référant à $L^2(M)$ (quelle mesure?) sur une variété de Poisson $M$, $$-i\{H, \cdot\} : C^\infty_c(M) \to L^2(M)$$ est symétrique par exemple dans $\mathbb{R}^{2n}$se référant à la structure euclidienne naturelle et à la structure symplectique standard en coordonnées cartésiennes orthonormales, mais ce n'est pas nécessairement essentiellement autoadjoint (essentiellement l'auto-jonction de PDE sur les variétés riemanniennes est un problème délicat et les résultats généraux sont connus pour les$-i\{H, \cdot\}$ n'est pas elliptique en général [quelle métrique riemannienne en général quand on n'est doté que d'une structure de Poisson?]).
(d) Enfin, même si nous produisons un groupe unitaire fortement continu généré par une extension auto-adjointe de $-i\{H, \cdot\}$, Je ne peux pas voir la relation avec la dépendance continue à partir des données initiales de l'ODE associé à $H$.
Voici ce qui manque probablement.
Cette limite de prévisibilité nécessitait l'existence d'un mécanisme de rétroaction qui fonctionne à chaque pas de temps de la simulation. La rétroaction amplifie de manière cumulative la sensibilité aux conditions initiales et amplifie les effets des erreurs d'arrondi et de discrétisation dans les algorithmes et provoque ainsi une divergence du système après un certain nombre d'itérations. Cet effet n'est pas visible si le chemin de rétroaction est interrompu.