Lemme du système pi de Dynkin

Question

J'ai une question assez triviale que j'ai vraiment du mal à comprendre, et j'ai le sentiment qu'il me manque quelque chose de simple, alors j'espère que je serai en mesure de résoudre ce problème ici.

Le lemme dit: Si G est un $\pi$-système, puis le $d$-system (dynkin-system) généré par G est le $\sigma$-field généré par G.

Dans la preuve que j'ai, nous construisons l'ensemble suivant: $D_{1}$ = {B $\in$ $d(G)$ : $\forall$ C $\in$ G, B $\cap$ C $\in$ $d(G)$ }

et nous montrons que $D_{1}$ est en fait un $d$-système. Je suis content du reste de la preuve mais j'ai du mal à voir pourquoi l'ensemble$\Omega \in D_{1}$?

Par définition d'un système dynkin, je sais que nous devons avoir $\Omega \in d(G)$ donc dans l'ensemble $D_{1}$ Je peux prendre un élément $B = \Omega \in d(G)$ mais je ne peux pas déduire pourquoi l'ensemble C doit contenir $\Omega$ (de sorte que l'intersection de $\Omega \cap \Omega = \Omega \in d(G)$) qui montrera finalement la première partie que $D_{1}$ est en fait un d-system.

Toute aide sur ce qui précède serait très appréciée!

Answer 1

Ces définitions sont en effet déroutantes.
Notez que, par définition$G\subseteq d(G)$ car $d(G)$est le plus petit système Dynkin contenant $G.$ Remarquez alors que si $x\in G,$ puis $x\in d(G).$ Donc, $\Omega \in d(G)$ par définition et si $C\in G$ puis $C\cap \Omega =C\in d(G)$ donc $\Omega \in D_1.$