Limitation de la fonction de sol

Question

De CMC:

Quelle est la somme du carré des nombres réels $x$ Pour qui $x^2 - 20\lfloor x\rfloor + 19 = 0$?

Nous utilisons $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$ et finalement obtenir les limites $1\le x\le19$ et $x\ge 18,x\le 2.$ Bien sûr, c'est possible pour $x$ ne pas être un entier, alors comment trouver les autres solutions, autres que $19$ et $1$?

Quelqu'un a écrit cette solution:

$x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19 = 0$ Cleary $x\geq \lfloor x \rfloor$ pour tout vrai $x$. Donc,$$x^2-20x+19 \leq x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19=0.$$ Qui conduit à $$1 \leq x \leq19.$$Également $x^2=20\lfloor x\rfloor - 19$ ce qui implique $\lfloor x \rfloor=1,17,18,19$.

Je ne sais pas comment on obtient $\lfloor x\rfloor=17,18$ de cela.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{x^{2} - 20\left\lfloor\,{x}\,\right\rfloor + 19 = 0}\,,\quad x = {\Large ?}}$

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Il est clair que $\ds{\left\lfloor x\right\rfloor = {x^{2} + 19 \over 20} = m, \mbox{where}\ m \in \mathbb{N}_{\geq\ 1}\ \mbox{such that}\ x = \root{20m - 19}}$.

Ensuite, \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{m = \left\lfloor\,{\root{20m - 19}}\,\right\rfloor} \implies m \leq \root{20m - 19} < m + 1 \\[5mm] & \implies m^{2} \leq 20m - 19 < m^{2} + 2m + 1 \implies \left\{\begin{array}{lcl} \ds{m^{2} - 20m + 19} & \ds{\leq} & \ds{0} \\ \ds{m^{2} - 18m + 20} & \ds{>} & \ds{0} \end{array}\right. \\[5mm] &\ \mbox{with solutions}\quad 1 \leq m <\ \underbrace{9 - \root{61}}_{\ds{\approx 1.1898}}\ \quad\mbox{or}\quad \underbrace{9 + \root{61}}_{\ds{\approx 16.8102}}\ < m \leq 19 \\[5mm] &\ \implies m \in \braces{1,17,18,19} \implies \bbx{x \in \braces{1,\root{321},\root{341},19}} \\ & \end{align} avec $\ds{\root{321} \approx 17.9165}$ et $\ds{\root{341} \approx 18.4662}$. Veuillez vérifier$\ds{\color{red}{x < 0}}$.

Answer 2

$$x^2 - 20 \lfloor x \rfloor + 19 = 0$$

L'intuition est que les solutions ne s'éloignent pas trop des solutions de $x^2-20x+19=0$, à savoir $x=1, 19$. Alors allez-y et exprimez cette intuition! Je n'ai pas l'habitude de jouer avec$x-1 < \lfloor x \rfloor \le x$. Alors allons-y pour une méthode plus granulaire.

Laisser $n = \lfloor x \rfloor , u = x-n$. Donc$0\le u < 1$. $$(n+u)^2 - 20n + 19=0.$$ Expansion nous obtenons $$u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)=0.$$ Nous savons que $u \in [0,1)$. Donc, cette équation doit avoir une solution dans cet intervalle. En aura-t-il deux? cela signifierait que la somme de ces deux solutions est supérieure à 0. Mais d'après le théorème de Vieta, ce n'est pas possible. Par conséquent, il y a exactement 1 solution dans l'intervalle$[0,1)$. Si cette solution est exactement 0, alors$0^2 + 2n\cdot 0 + (n^2-20n+19)=0.$ Donc $n = 1,19$. Sinon, on voit que la fonction$f_n(u) = u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)$ doit changer de signe exactement une fois sur l'intervalle $(0,1)$. Donc$f(0)f(1) < 0.$ Cela signifie $$(n^2-20n+19)(n^2-18n + 20)<0,$$ que nous pouvons factoriser: $$(n-19)(n-1)(n-1.1897..)(n-16.8102..) < 0.$$ (En pratique, vous n'avez pas besoin de beaucoup de précision, il vous suffit de calculer la partie intégrale.) $n$ est un entier, $n=17, 18.$ (Pouvez-vous voir pourquoi? Je vous expliquerai cela plus en détail sur demande.)

Substituer $n=17$ et $n=18$, nous obtenons des équations pour $u$respectivement. Et cela devient des équations quadratiques régulières.

Answer 3

De $\lfloor x\rfloor=(x^2+19)/20\gt0$, nous voyons que nous devons avoir $x\gt0$, Par conséquent $x=\sqrt{20\lfloor x\rfloor-19}$(c'est-à-dire la racine carrée positive et non négative). Il s'ensuit que$x^2-20\lfloor x\rfloor+19=0$ a une solution (unique) avec $\lfloor x\rfloor=n\in\mathbb{Z}^+$ si et seulement si $n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1$. Avec tout en vue non négatif, nous avons

$$\begin{align} n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1 &\iff n^2\le20n-19\lt n^2+2n+1\\ &\iff n^2-20n+19\le0\lt n^2-18n+20 \end{align}$$

La première inégalité quadratique de la dernière ligne nous dit $1\le n\le19$; le second nous dit non plus$n\lt9-\sqrt{61}$ ou $n\gt9+\sqrt{61}$, qui, depuis $7\lt\sqrt{61}$, nous dit non plus $n\lt2$ ou $n\gt16$. Nous avons donc quatre valeurs pour$\lfloor x\rfloor=n$, à savoir $1$, $17$, $18$, et $19$, avec $20n-19$ pour les valeurs correspondantes de $x^2$. La somme de ces carrés est

$$(20\cdot1-19)+(20\cdot17-19)+(20\cdot18-19)+(20\cdot19-19)=20(1+54)-76=1024$$

(Le fait que la réponse finale se révèle être un pouvoir de $2$ est sûrement une pure coïncidence.)