Limite avec logarithme complexe

Question

Ces limites impliquant la branche principale du logarithme naturel existent-elles? $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ $$\lim_{z\rightarrow 0}\ln(z^2-1)$$

Je pense que la première limite est juste $i\pi$. Mais je ne sais pas comment le justifier.

Pour la deuxième limite, le point $z\rightarrow 0$est dans la coupe de branche. Donc je pense que la limite n'existe pas parce que$\ln$n'est pas défini. Est-ce correct?

Toute aide est appréciée.

Answer 1

Pour $z \in \mathbb C\setminus \{0\}$, vous avez $\Im(-i \vert z \vert -1) = -\vert z \vert <0$.

Par conséquent $$\lim\limits_{z \to 0} \ln(-i\vert z \vert -1)=-i\pi.$$

Remarque: cependant la carte $f : z \mapsto \ln(-i\vert z \vert -1)$ n'est pas continue à zéro car $f(0) =i\pi$.

Et vous avez raison concernant la deuxième limite: elle n'existe pas.

Answer 2

Commençons par le premier! $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ nous savons que $$e^{i{\theta}}=cos(\theta)+isin(\theta)$$ $$ln(e^{i{\theta}})=ln(cos(\theta)+isin(\theta)) $$ $$i\theta=ln(cos(\theta)+isin(\theta))$$ $$\boxed{\theta=-iln(cos(\theta)+isin(\theta))} \quad (1)$$ Donc, si nous avons: $$ln(-1)$$ cela signifie que $$cos(\theta)=-1 \space and \space sin(\theta)=0$$ $$\theta=arccos(-1)$$ Donc $$\theta={\pi}$$ Maintenant, nous pouvons remplacer $$ \quad (1)$$ $$\boxed{\pi=-iln(cos(\pi)+isin(\pi))}$$ $$\boxed{i{\pi=ln(-1)}}$$Vous pouvez justifier le deuxième exercice de la même manière. (Désolé pour mon anglais et mes compétences en dactylographie)