Limite projective des espaces des mesures de probabilité

Question

Considérons un système projectif $\dots X_{n+1} \to X_n \to \dots \to X_1$ d'espaces de Hausdorff complètement réguliers avec limite projective $X$. Puis les mappages de liaison$f_n$ induire un système projectif (dans la catégorie des ensembles) d'espaces de mesures de probabilité $\dots P(X_{n+1}) \to P(X_n) \to \dots \to P(X_1)$ avec les mappages de liaison canoniques pushforward $(f_n)_*$. Quelle est la limite projective correspondante? Pour plus de simplicité, limitons d'abord aux produits$X_n = Y^n$. En général, un système compatible de mesures de probabilité sur$Y^n$ n'a pas besoin d'avoir une extension à une mesure de probabilité sur $X$, à moins que $Y$ c'est-à-dire polonais (par le théorème d'extension de Kolmogorov), auquel cas la limite projective est précisément $P(X)$. Est une caractérisation de la limite projective du$P(X_n)$ connu pour la configuration plus générale?

Answer 1

Juste quelques réflexions nocturnes sur votre question, mais trop longues pour un commentaire.

1. Si tout votre $X$'s sont compacts, alors tout va bien et la limite projective souhaitée est juste la famille de mesures de probabilité sur la limite projective (compacte) du $X$'s (je suppose, au fait que l'image de $X_n$ est égal à $X_{n-1}$ pour chaque $n$).

2. Revenons au cas général - alors chaque mesure de probabilité sur un composant peut être considérée comme une mesure finement additive sur la compactification Stone-Čech correspondante. Maintenant, ces compactifications forment également un système projectif et ont donc un espace compact$\hat X$comme limite. Un élément de votre limite projective détermine un fil conducteur dans le système de compactifications et donc une mesure de probabilité sur$\hat X$.

3. Par conséquent, votre espace peut être identifié comme un espace de probabilités sur $\hat X$.

4. La question est de savoir comment identifier exactement de quel espace il s'agit. À ce stade, la réponse dépend du point que j'ai soulevé dans mon commentaire. Vous auriez besoin de conditions sur une probabilité sur$\hat X$ qui garantissent que ses images dans les espaces des composants satisfont aux conditions de régularité qui vous intéressent.

5. Je conclurai par la remarque qu'il existe des conditions connues pour que les probabilités sur une compactification de Stone-Čech correspondent à $\sigma$-additif, $\tau$-des mesures supplémentaires ou serrées sur l'espace sous-jacent complètement régulier.

Pas une réponse mais j'espère que cela aide.