Limiter dans une limite

Question

Hé, quelqu'un peut-il me montrer une procédure étape par étape pour montrer que ce qui suit est possible. Je n'arrive pas à comprendre comment réduire une limite dans une limite à une seule limite et le remplacement de la variable «a» et «b» par «c»

(Quelqu'un a mentionné des limites itérées mais je ne sais pas comment le montrer exactement)

$$\lim_{a\to 0}\dfrac{\lim\limits_{b\to 0}\dfrac{{f(x+a+b)-2f(x+b)+f(x)}}{b}}{a}=\lim_{c\to 0}\frac{{{f(x+2c)-2f(x+c)+f(x)}}}{c^2}$$

Cette idée est utilisée pour prouver le dérivé de Grunwald-Letkinov (https://en.wikipedia.org/wiki/GrünwaldLetnikov_derivative) et ils ont mentionné que cette étape est effectuée en supposant que «a» et «b» convergent de manière synchrone et peuvent être justifiés par MVT. Si possible, pouvez-vous expliquer cela? et comment utiliser MVT pour justifier cela.

Answer 1

Vous pouvez réécrire le numérateur supérieur comme et en supposant $f$ est dérivable alors:

$\underbrace{\dfrac{f(x+a+b)-f(x+a)}b}_{\to f'(x+a)}-2\underbrace{\dfrac{f(x+b)-f(x)}b}_{\to f'(x)}+\underbrace{\dfrac{f(x+a)-f(x)}b}_{\to\infty}$

Donc à moins que $f$ est constant, le dernier terme diverge depuis que vous prenez le $\lim\limits_{b\to 0}$ d'abord dans l'expression originale, donc je ne pense pas que ce soit une expression bien formée.

Remarque: vous pouvez essayer de postuler à $f(x)=x$

Il serait plus logique de remplacer $-2f(x+b)$ par $-f(x+b)-f(x+a)$ et en le comparant à $f''(x)$.