Limiter l'évaluation.

Question

Dans N. Piskunov, il a expliqué les équations différentielles en reprenant l'exemple de la résistance de l'air agissant sur un corps en chute. Après avoir évalué l'équation différentielle, il obtient une équation pour la vitesse comme:$$v = \left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}.$$

Il déclare ensuite que si $k = 0$ alors l'équation devient l'équation de base: $$v = v_o + gt.$$

Maintenant, je comprends cette affirmation parce que lorsque la résistance de l'air est nulle, cette équation de vitesse est valable. Cependant, je ne suis pas en mesure de prouver cette affirmation lorsque j'évalue la limite:$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right]$$

Toute aide pour évaluer la limite serait appréciée!

Answer 1

Vous avez

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_oe^{-\frac{kt}{m}} - \frac{mg}{k}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] \\ & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_{o}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} \right] \\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

La limite du premier terme, c'est-à-dire $v_{o}e^{-\frac{kt}{m}}$, est tout simplement $v_{o}$. Pour le deuxième mandat, puisque la limite devient$\frac{0}{0}$, selon la règle de L'Hôpital , donne

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} & = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(-e^{-\frac{kt}{m}}\left(-\frac{t}{m}\right)\right)}{1} \\ & = mg\left(\frac{t}{m}\right) \\ & = gt \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

Vous pourriez également avoir utilisé le fait de liste de commentaires de question de dnfu pour obtenir la même valeur. Le résultat combiné de \ eqref {eq1A} donne donc

$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] = v_{o} + gt \tag{3}\label{eq3A}$$

Answer 2

Comme alternative, nous avons cela par limite standard $\frac{e^x-1}{x} \to 1$ comme $x \to 0$

$$ \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} =gt \,\frac{ e^{-\frac{kt}{m}}-1}{-\frac{kt}m} \to gt \cdot 1= g t$$

et le résultat suit.

Answer 3

Avec

$$e^{-\dfrac{kt}{m}}\approx 1-\dfrac{kt}{m},$$

$$\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\dfrac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}$$

devient

$$v_o+\left(g-\frac{kv_0}m\right)t\approx v_o+gt.$$