Manœuvre à l'intersection de 2 orbites
Le vaisseau spatial effectue des transferts entre deux orbites coplanaires. L'orbite initiale a le Ra = 2000km, Rp = 600kmet AoP = 200 deg. L'orbite finale a le Ra = 6000kmet AoP = 240 deg.
L'altitude du périgée de l'orbite finale n'est pas indiquée. Je dois effectuer un minimal single impulsive thrustà l'intersection des orbites. Comment devrais-je construire mathématiquement l'équation?
AoP - argument du périgée , Ra - altitude apogée , Rp - altitude périgée
Réponses
Vous avez décrit en détail la première orbite (en supposant 2D) et avez fixé deux des trois paramètres de la deuxième orbite, laissant le périgée flotter. Je suppose que vous ne vous souciez que d'atteindre l'apogée exactement à 60 degrés.
La poussée impulsive minimale se produira lorsque la nouvelle orbite est tangentielle à l'ancienne orbite, donc vous vous déplacez directement le long de la trajectoire du mouvement. Cela signifie que nous devons configurer les équations des orbites et itérer pour trouver la valeur du périgée là où il n'y a qu'une seule solution, car la résolution exacte des ellipses tangentielles va résulter en une série infinie quelque part.
Notez que la tangente ne sera au périgée sur aucune orbite!
Sortir Mathematica ...
(* Equation of Orbit *)
orb = (#1 (1 - #2^2)/(1 + #2 Cos[#4 - #3])) &;
(* Params of first orbit *)
ra = 6371 + 2000;
rp = 6371 + 600;
a = (rp + ra) / 2;
e = (ra - rp)/(rp + ra);
aa = 200 * Pi/180;
(* Params of second orbit *)
ra2 = 12371;
rp2 = 7183.3; (* <-- Play with this to find solution *)
a2 = (rp2 + ra2)/2;
e2 = (ra2 - rp2)/(ra2 + rp2);
aa2 = 240 * Pi/180;
(* Draw a plot, because it helps understand *)
PolarPlot[{orb[a, e, aa, t] , orb[a2, e2, aa2, t]} , {t, 0, 2 Pi},
PolarAxes -> True, PolarGridLines -> Automatic,
PolarTicks -> {"Degrees", Automatic}]
(* Solve for intersection of two orbits *)
sols = NSolve[{orb[a, e, aa, t] == orb[a2, e2, aa2, t], t >= 0,
t < 2 Pi}, t]
(* Take the first result, and find radius at that position *)
t1 = ({t} /. sols[[1]])[[1]];
r = orb[a, e, aa, t1]
(* Use orbital equation, and Earth mass to find velocity at first
and second orbits *)
gm = 3.98600436*10^5;
orbv = Sqrt[gm (2/#1 - 1/#2)] &;
v1 = orbv[r, a];
v2 = orbv[r, a2];
(* Difference between velocities is impulse, and angle in orbit to \
use *)
N[v2 - v1]
N[t1 * 180/Pi]
En jouant avec pour obtenir la bonne valeur pour rp2 (le plus grand nombre que vous puissiez saisir avant de vous retrouver sans solution dans NSolve), nous obtenons:
La périastre de la nouvelle orbite est d'environ 7183,3 km, soit une altitude de 812,3 km.
v2 - v1 = 0,704912 km / s ou 705 m / s
t1 = 260,4 degrés.
r = 7278,6 km, soit une altitude de 907,6 km.
Donc - 705m / s impulsion prograde lorsque votre orbite atteint 260,4 degrés (à une altitude de 907,6 km) et que vous devriez vous retrouver sur une orbite qui vous met à l'apogée et l'angle de périastre requis.
(Quelqu'un voudra peut-être vérifier mes résultats)
Oui, ce n'est pas une réponse complète , mais peut-être que mes pensées vous aideront à trouver la solution par vous-même. Ou quelqu'un d'autre connectera les fils lâches:
Tout d'abord, je recommande une autre notation: "R" doit être réservé à la distance entre l'objet et le focus des orbites, donc je recommande d'utiliser "Alt" à la place. "RA" est commun pour "ascension droite" donc j'utiliserai: Alt_Apo et Alt_Peri, R = R_Earth + Alt
Il existe une règle empirique qui dit: "une manœuvre perpendiculaire au vecteur R est la plus économe en carburant", donc pour remplir le "minimum" en "poussée simple minimale", nous ne devrions pas envisager d'autres manœuvres.
Une autre règle de base est: "une manœuvre perpendiculaire au vecteur R affecte principalement le site opposé de l'orbite"
Donc, sur la base de ces règles: votre objet doit rouler sur 40 degrés (à partir du périgée initial) et pousser perpendiculairement au vecteur R jusqu'à ce que l'Apogée atteigne Alt_Apo, final = 6000 km. Vous devrez calculer la magnitude de R au point de manœuvre et la vitesse en piste et radiale. Avoir la vitesse en piste est une solution simple d'équation vis-à-vis que vous devez résoudre.
BUUUUUUUUUUUUUUT:
Il reste maintenant un problème, l'orbite initiale avait une composante de vitesse radiale au point d'intersection / manœuvre. L'orbite finale ne devrait pas en avoir (sinon ce n'est pas son Périgée)!
Pour résoudre ce problème, vous devrez trouver un point derrière le point d'intersection / manœuvre, où la vitesse radiale de l'orbite initiale sera la même que la vitesse radiale de l'orbite finale mais décalée de 40 degrés. Et ce, sans connaître encore l'orbite finale. ...
Peut-être que cela vous aidera, vous ou quelqu'un, à comprendre le reste. Puis-je demander, est-ce un travail à domicile ou en avez-vous besoin pour travailler?