Mean Reverting Heston Model?
Existe-t-il un nom pour une variation du modèle de processus stochastique de Heston où non seulement la volatilité sous-jacente, mais le prix de l'actif lui-même, est en train de revenir à la moyenne? Je cherche à modéliser les rendements des indices boursiers à long terme, ce qui, selon moi, montre à la fois le retour de la moyenne de la volatilité et le retour de la moyenne des prix des actifs. De toute évidence, lorsqu'un tel indice boursier peut être considéré comme un retour moyen (au moins approximatif) vers une volatilité fixe à long terme, il revient également au prix des actifs attendu par les rendements composés annualisés (environ 7% en termes réels pour le SP500).
Autant que je sache, le modèle Heston ne fait rien pour expliquer le deuxième comportement. Comment modifierait-on le modèle pour tenir compte de cela?
Edit: j'ai essayé de considérer le modèle suivant. Des pensées à ce sujet?
$dS_t = \sqrt{v_t}S_tdB_t^{(1)} + a_1(\mu_t - S_t)$
Où $u_t := \mathbb{E}[S_t]$ est l'équilibre attendu au temps t selon la composition annualisée attendue, $a_1$ est la vitesse de retour à la moyenne pour le prix, $B_t^{(1)}$ est un mouvement brownien unidimensionnel, et $v_t$ est le processus de variance $\{v_t, t\geq 0\}$ tel que défini avec:
$dv_t = \sigma\sqrt{v_t}dB_t^{(2)} + a_2(v_t - \nu)$
Où, à son tour, $\sigma$ est le vol constant de vol, $B_t^{(2)}$ est le mouvement brownien unidimensionnel corrélé à $B_t^{(1)}$ par $Cov(B_t^{(1)},B_t^{(2)})=\rho$, $a_2$ est la vitesse de retour à la moyenne pour la volatilité, et $\nu$ est la moyenne à long terme de la volatilité.
Edit 2: Je voulais dire des retours en arrière, pas un niveau de prix fixe.
Réponses
Commençons par le modèle classique de Heston avec le prix sous-jacent $S_t$ et variance $v_t$,
\begin{align} \frac{dS}{S}&=\mu dt+\sqrt{v_t}dW_1\\ dv_t&=\kappa(\theta-v_t)dt+\sigma\sqrt{v_t}dW_2 \end{align} et $E(dW_1dW_2)=\rho dt$
À partir de là, si vous souhaitez introduire un niveau de prix moyen de retour , je pourrais suggérer l'ajustement suivant de votre processus d'actif:
$$ dS/S=\kappa_S(\theta_S-lnS_t) dt + \sqrt{v_t}dW_1 $$
En gros, $e^{\theta_s+g(\theta,\kappa,\sigma,\rho)}$ est le niveau de prix à long terme, avec $g$ un terme de correction pour la variance à l'état d'équilibre.
Nous pouvons maintenant soit simuler directement cette configuration, soit utiliser la machinerie de transformation de Fourier pour les processus de diffusion par sauts linéaires , sachant que - sous la transformation$y=lnS$ - le système
\begin{align} dy&=\kappa_S(\theta_S-y-0.5v_t) dt + \sqrt{v_t}dW_1\\ dv_t&=\kappa(\theta-v_t)dt+\sigma\sqrt{v_t}dW_2 \end{align}
est clairement dans la classe des processus linéaires. L'étape suivante consisterait à effectuer l'analyse dans DPS2000.
ÉDITER
Dans le cadre de la mesure physique, si vous souhaitez modéliser vos rendements pour qu'ils reviennent à la moyenne, vous devriez être en mesure de travailler avec les éléments suivants:
\begin{align} dy&=(\mu_t-0.5v_t) dt + \sqrt{v_t}dW_1\\ dv_t&=\kappa(\theta-v_t)dt+\sigma\sqrt{v_t}dW_2\\ d\mu&=\kappa_{\mu}(\theta_{\mu}-\mu_t)dt+\sigma_{\mu}dW_3 \end{align}
et vous devriez même pouvoir spécifier des corrélations entre $dW_1,dW_3$ et $dW_2,dW_3$.
Dans le cadre de la mesure neutre au risque, vous devriez être en mesure d'introduire un processus de taux de rendement sans risque de retour à la moyenne. Encore une fois, voir la source 1 ci-dessus.