Modèle de cardinalité $\lambda$ où chaque sous-ensemble définissable est soit fini soit a une taille $\lambda$
Laisser $T$ être cohérent et $P$ est un prédicat dans $L(T)$. Supposer$\lambda \ge \aleph_0 + |L(T)|$. Puis si$T$ a un modèle infini, il y a un modèle $M$ de $T$ de cardinalité $\lambda$ de telle sorte que chaque sous-ensemble définissable est fini ou a une cardinalité $\lambda$.
Comment le prouver? Tout d'abord, supposons$T$ ne prouve pas $P$ est fini (auquel cas il n'y a pas grand-chose à faire avec $P$). ensuite$T \cup \{P(c_i) : i < \lambda \} \cup \{\neg P(d_i) : i < \lambda \}$ est cohérent où $\{c_i, d_i : i < \lambda\}$sont de nouveaux symboles constants. Cela laisse le problème de toutes les autres formules. Il peut y avoir d'autres symboles de relation, de constante et de fonction dans$L(T)$, que je ne sais pas comment gérer. S'agit-il de prendre toutes les formules non algébriques et de dire qu'il y a$\lambda$ de nombreuses constantes qui le satisfont, et $\lambda$beaucoup qui ne le font pas? Si oui, alors qu'est-ce$P$ ont à voir avec ça?
Edit: j'ai oublié de m'assurer que le modèle se révélerait avec la cardinalité $\lambda$. Mais cela découle simplement du fait que puisque nous allons ajouter$\lambda$ de nombreux nouveaux symboles constants pour chaque formule $\varphi$ et il y a $\leq \lambda$ beaucoup de ces formules, le nombre total de symboles constants ajoutés sera $\lambda \times \lambda = \lambda$. On peut donc trouver un modèle de cardinalité$\lambda$ par skolem lowenheim vers le bas une fois que nous appliquons la compacité.
Réponses
$P$ n'est pas pertinent dans la déclaration, alors oublions-le.
Ce que vous avez écrit est presque exact. Si$\varphi(x)$ est une formule non algébrique avec une variable libre, alors il est cohérent d'ajouter $\lambda$-de nombreux nouveaux symboles constants et disent qu'ils satisfont tous $\varphi(x)$. Mais ce n'est pas forcément cohérent d'ajouter$\lambda$-de nombreux nouveaux symboles constants et disent qu'ils ne satisfont pas tous$\varphi(x)$, sauf si $\lnot \varphi(x)$est également non algébrique! Il vaut donc mieux gérer$\varphi$ et $\lnot \varphi$ séparément.
Maintenant, les détails de la construction dépendent du fait que «ensemble définissable» signifie définissable avec des paramètres ou non. Supposons que nous voulions gérer des ensembles définissables avec des paramètres, car c'est un peu plus compliqué.
Commencez avec un modèle $M_0\models T$ de cardinalité $\lambda$(qui existe par Löwenheim-Skolem). Laisser$T_M$ être le diagramme élémentaire de $M$ (la théorie complète de $M$ dans la langue $L_M$ avec un symbole constant pour chaque élément de $M$ - notez que cette langue a la cardinalité $\lambda$).
Faites une liste de toutes les formules non algébriques dans une variable avec les paramètres de $M$. Il y a$\lambda$-beaucoup de ceux-ci. Pour chacun, dites$\varphi(x,\overline{a})$, présenter $\lambda$-de nombreux nouveaux symboles constants et ajouter à $T_M$ l'axiome $\varphi(c,\overline{a})$ pour chaque nouvelle constante $c$, ainsi que les axiomes $c\neq d$ pour chaque paire de nouvelles constantes $c$ et $d$. La langue résultante a toujours la cardinalité$\lambda$, donc par Löwenheim-Skolem, la théorie résultante a un modèle $M_1$ de cardinalité $\lambda$, et $M_0\preceq M_1$ depuis $M_1\models T_M$.
Maintenant $M_1$ est un modèle de $T$ de cardinalité $\lambda$ de sorte que chaque ensemble définissable avec des paramètres de $M_0$ est fini ou a une cardinalité $\lambda$. Mais qu'en est-il des ensembles définissables avec des paramètres de$M_1$ qui ne sont pas dans $M_0$? Pour y faire face, nous répétons la construction ci-dessus, en construisant une chaîne élémentaire$M_0\preceq M_1\preceq M_2\preceq \dots$. L'union de cette chaîne est un modèle de cardinalité$\lambda$ de telle sorte que chaque ensemble définissable avec des paramètres soit fini ou ait une cardinalité $\lambda$. Pourquoi? Les paramètres finis apparaissent tous dans certains$M_n$, donc déjà l'ensemble définissable a une taille $\lambda$ dans $M_{n+1}$, et il ne peut croître que lorsque nous prenons le syndicat.
Si vous ne vous souciez que des ensembles définissables sans paramètres, alors vous n'avez pas besoin de la chaîne élémentaire: vous avez déjà terminé après la première étape.