Mouvements browniens

Question

Si $A_t$ et $B_t$ sont des mouvements browniens indépendants et $a$ est un nombre, pouvons-nous dire que $(\sin a )A_t+ (\cos a) B_t$ est aussi un mouvement brownien?

Answer 1

Si $A_t$ et $B_t$ sont des mouvements browniens indépendants, alors $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ est un processus gaussien centré (dû à l'indépendance, $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ a la loi $N(0,(\sin(a)^2+\cos(a)^2)t)=N(0,t)$ à fixe $t$) et la covariance du processus est

$$K(s,t)=\operatorname{Cov}(\sin(a)A_s+\cos(a)B_s,\sin(a)A_t+\cos(a)B_t)=\sin(a)^2s\wedge t+\cos(a)^2s\wedge t+0=s\wedge t$$

où le $s\wedge t$ (minimum de $s$ et $t$) vient du fait que $A_t$ et $B_t$ sont des mouvements browniens et les $0$ vient du fait que $A_t$ et $B_s$ sont indépendants.

Nous avons montré que $\sin(a)A_t+\cos(a)B_t$ est un processus gaussien centré avec covariance $K(s,t)=s\wedge t$. Evidemment les trajectoires sont toujours continues car la multiplication par une constante préserve la continuité et la somme de deux fonctions continues est continue. Cela caractérise le mouvement brownien, donc oui, c'est définitivement un mouvement brownien.