Multiplicateur de Lagrange en calcul multivariable

Question

Je veux demander lorsque nous appliquerons le multiplicateur de Lagrange, nous obtiendrons plusieurs points critiques. Et est-il suffisant que l'extrémum global provienne exactement de la valeur évaluée par ces points critiques trouvés? En d'autres termes, est-il possible que tous les points critiques trouvés soient des points de selle ou seulement maximum mais pas de minimum par exemple? Sinon, pourriez-vous me donner quelques exemples? De plus, est-il possible d'obtenir un seul point critique après l'application du multiplicateur de Lagrange?

Answer 1

Supposons que nous ayons $f, g:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ différenciable et nous voulons trouver le maximum et le minimum de $f$ sur le plateau $$ \mathcal{D} := \lbrace x\in \mathbb{R}^n: g(x) = 0 \rbrace. $$Ensuite, une déclaration (et une seule déclaration) est toujours vraie. Si$x^* \in \mathcal{D}$ est un minimum / maximum local de $f$ sur $\mathcal{D}$, alors il y a du $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $$ \nabla f(x^*) + \lambda \nabla g(x^*) = 0. $$

Nous appelons ces points des points critiques .

Ce que vous faites habituellement est de décider si $\mathcal{D}$est compact ou non. Si c'est le cas, nous savons qu'un maximum et un minimum globaux doivent exister. Bien sûr, ils font partie des points critiques. Vous pouvez les trouver en évitant$f$aux points critiques. La valeur la plus basse est le minimum et la plus grande est le maximum.

Premier exemple: $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x, y) = x+y$, $g(x, y) = x^2+y^2 - 1$

Évidemment, $\mathcal{D}$est compact. Les seuls points critiques sont$\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^\top$ avec $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$ et $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^\top$ avec $\lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Je pense qu'il est facile de décider lequel est le minimum / maximum.

Deuxième exemple: $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x, y)= \exp(-x^2-y^2)$, $g(x, y) = y$.

Le seul point critique est $(0, 0)$ avec $\lambda = 0$. On voit tout de suite qu'il s'agit d'un maximum global à cause de$\displaystyle \max_{t \in (-\infty, 0]} \exp(t) = \exp(0)$.

Troisième exemple: $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x, y) = x^3 + y^3$, $g(x, y) = x-y$

Le seul point critique est $(0, 0)$ avec $\lambda = 0$. C'est un point de selle que vous pouvez voir en regardant$f(t, 0) = t^3$. Si$t>0$, $f(t, 0)$ est positif et si $t<0$, $f(t, 0)$ est négatif.

(Bien sûr, d'autres cas sont possibles)