Nombre prévu de paires garçon-fille
$4n$les enfants lors d'une fête sont jumelés au hasard, chaque paire étant également probable. S'il y a$n$ garçons et $3n$filles, trouvez le nombre attendu de paires garçon-fille. (La commande n'a pas d'importance dans les paires garçon-fille ou entre les paires)
Jusqu'à présent, j'ai essayé:
Laisser $x$ être le nombre de paires composées d'un garçon et d'une fille.
Valeurs possibles de $x$ sont issus $0$ à $n$.
$E(x)=∑_{i,j=0}^{n} P(x_{i,j})$
où $x_{i,j}$ est une variable aléatoire indicatrice égale à $1$ si garçon $i$ est jumelé avec une fille $j$, et 0 sinon.
Cependant, je ne sais pas comment calculer $P(x_{i,j})$
Je suppose que ce serait $\frac{\binom{n}{1}\cdot\binom{3n}{1}}{\binom{4n}{2}}$, mais je ne suis pas sûr que ce soit un surestimation.
Aussi, après avoir trouvé $P(x_{i,j})$, sommes-nous en somme $P(x_{i,j})$ plus de $n$ paires possibles à trouver $E(x)$?
Réponses
Vous vous interrogez spécifiquement sur votre probabilité $P(X_{i,j})$ la probabilité que ce garçon $i$ est jumelé avec une fille $j$.
Le garçon spécifique, garçon $i$, sera dans l'une des paires. Peu importe lequel pour nous. Le partenaire jumelé avec un garçon$i$ est également susceptible d'être l'un des autres $4n-1$ enfants, dont exactement la fille, la fille $j$. La probabilité que vous demandez est simplement$$P(X_{i,j})=\dfrac{1}{4n-1}$$
" Après avoir trouvé$P(X_{i,j})$ somme-nous $P(X_{i,j})$ plus de $n$ paires possibles à trouver $E[X]$? "Non, nous résumons tous les couples garçon-fille possibles .$n\times (3n)$ appariements possibles, à savoir garçon 1 avec fille 1, garçon 1 avec fille 2, garçon 1 avec fille 3, ... garçon n avec fille 3n-1, garçon n avec fille 3n.
On peut voir ça $X = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{3n} X_{i,j}$ et continuer à partir de là avec la linéarité de l'attente.
Une approche alternative aurait été au lieu de regarder chacun des appariements possibles ( dont il y a$3n^2$) pour regarder chacune des paires ( dont il n'y a que$2n$).
( Remarque, avec$4n$ enfants, il y a $2n$ des paires faites ... pas seulement $n$)
Location $Y_i$ être la variable aléatoire de l'indicateur qui équivaut à $1$ si la $i$Le couple a un garçon et une fille et $0$ sinon, il y a $\binom{4n}{2}$ des paires d'enfants tout aussi probables qui pourraient $i$'e paire, $n\times 3n$dont un couple garçon-fille. Cela donne$\Pr(Y_i) = \dfrac{n\times 3n}{\binom{4n}{2}}$.
On peut alors reconnaître que $X = \sum\limits_{i=1}^{2n} Y_i$ et continuer à partir de là avec la linéarité de l'attente.
Nous aurions pu rompre encore une autre façon ... laisser $Z_i$ être l'indicateur variable aléatoire correspondant au fait que le garçon $i$était en partenariat avec une fille. Vous auriez$X = \sum\limits_{i=1}^n Z_i$ et tu aurais $P(Z_i)=\frac{3n}{4n-1}$. De même, vous auriez pu le faire du point de vue des filles.
Nous avons dès le premier, $E[X] = E[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{3n} X_{i,j}] = n\times 3n \times \dfrac{1}{4n-1}$. Nous avons de la seconde$E[X] = E[\sum\limits_{i=1}^{2n}Y_i] = 2n\times \dfrac{n\times 3n}{\binom{4n}{2}}$. Du troisième nous avons$E[X]=E[\sum\limits_{i=1}^n Z_i] = n\times \dfrac{3n}{4n-1}$. Vous devriez être capable de voir après une petite manipulation algébrique que ceux-ci sont tous égaux bien sûr.
La probabilité qu'un garçon donné soit jumelé à une fille est $\frac{3n}{4n-1}$. Par linéarité de l'espérance (et puisqu'il y a$n$ garçons), le nombre attendu de paires garçon-fille est $n\cdot\frac{3n}{4n-1}=\frac{3n^2}{4n-1}$.
Tu es sur la bonne piste.
C'est un problème fini, donc la valeur attendue est prise en compte dans toutes les manières de sélectionner $2n$ paires d'enfants du $4n$les enfants. Combien de façons existe-t-il? Faisons-le généralement pour$k$ paires de $2k$ enfants (en utilisant des nombres de $1$ à $2k$ pour représenter les enfants):
Vous pouvez transformer les paires en une permutation du $2k$ enfants en notant les 2 enfants d'une paire comme première et deuxième entrée de la permutation, puis 2 enfants d'une autre paire comme 3e et 4e, aso
Pour $k=3$, l'appariement $(1,4),(5,2),(3,6)$ pourrait être écrit comme $145236$ ou $412536$ ou $523614$ et bien d'autres façons.
Alors, combien de $(2k)!$permutations correspondent au même arrangement d'appariements? Eh bien, à l'intérieur de chaque paire, l'ordre des enfants n'a pas d'importance (comparez$145236$ et $412536$au dessus de). Chaque paire peut être commandée en$2!=2$ façons, puisque nous avons $k$ paires cela réduit les paires de nombres d'un facteur ou $2^k$.
En outre, l'ordre dans lequel nous regardons le $k$ peu importe non plus (comparer $145236$ et $523614$ ci-dessus), cela réduit le nombre d'appariements d'un facteur supplémentaire de $k!$.
Mais c'est toutes les symétries pour les appariements $\to$algorithme de permutations ci-dessus. Si nous fixons l'ordre des paires et l'ordre à l'intérieur de chaque paire, nous obtenons maintenant exactement une permutation de l'appariement.
Donc, le nombre d'appariements pour $2k$ enfants en $k$ paires est
$$P_{2k} = \frac{(2k)!}{2^kk!}.$$
Alors, quelle est maintenant la valeur attendue de votre variable aléatoire indicateur $x_{i,j}$, que la paire $(i,j)$fait partie du jumelage? Nous savons qu'il y a$P_{4n}$appariements équiprobables. Pour chacun de ces appariements, la paire$(i,j)$est soit exactement une fois ou pas du tout. Alors, dans combien de paires s'agit-il?
Eh bien, si vous avez déjà "présélectionné" cette paire dans l'appairage, vous devez maintenant faire $2n-1$ paires du reste $4n-2$ les enfants, qu'il y a $P_{4n-2}$ façon de.
Cela signifie
$$E(x_{i,j}) = \frac{P_{4n-2}}{P_{4n}} = \frac{(4n-2)!}{2^{2n-1}(2n-1)!} \frac{2^{2n}(2n)!}{(4n)!} = \frac{2\cdot 2n}{(4n)(4n-1)} = \frac1{4n-1}.$$
Mais comme nous nous intéressons aux paires garçon-fille en général et non à une paire spécifique, nous devons multiplier ce qui précède par le nombre de paires garçon-fille, qui est simplement $n\cdot 3n =3n^2$.
Cela signifie que le résultat final pour la valeur attendue du nombre de paires garçon-fille est
$$E_n=\frac{3n^2}{4n-1}.$$
Il est toujours bon de vérifier le forumla pour les petites valeurs où le résultat peut être trouvé par d'autres moyens, pour éviter les erreurs lors des calculs.
Pour $n=1$, chaque jumelage doit jumeler le garçon célibataire avec une fille, de sorte que chaque jumelage contient exactement une paire garçon-fille, donc les valeurs attendues sont $1$ ainsi que la formule ci-dessus donne correctement.
Pour $n=2$, un garçon spécifique ($B_1$) peut être jumelé avec les sept autres enfants de $7$ manières: avec l'autre garçon $B_2$ ou l'une des 6 filles $(G_1,\ldots, G_6)$, avec une probabilité égale.
Dans tous les accords avec où $B_1$ est associé à $B_2$, il n'y a pas de couple garçon-fille (probabilité: $\frac17$). Dans tous les couples où$B_1$ est jumelé à une fille, il y a exactement 2 paires garçon-fille (probabilité: $\frac67$). Donc, la valeur attendue des paires garçon-fille pour$n=2$ est
$$\frac17\cdot 0 + \frac67\cdot2 = \frac{12}7,$$
c'est encore ce que prédit la formule ci-dessus.