OLS par matrice

Question

Si j'ai le modèle: $y = β_1x_1 + β_2x_2 + u$.
Je dois montrer que l'estimateur OLS est:

Je pense que je dois utiliser $\beta =\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}=(X^tX)^{-1}X^tY$. Mais je suis confus. Quelqu'un peut-il écrire les matrices X et Y? Je n'ai qu'à multiplier le premier coordinat dans le$2\times1$, parce que je n'ai qu'à le montrer pour $\beta_1$?

Answer 1

$$\require{cancel} \xcancel{ X = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. \qquad {}} $$

Modification ultérieure: je n'ai pas remarqué que le modèle proposé dans la publication d'origine n'a pas d'interception. Donc cela signifie que nous avons$$ X = \left[ \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. $$