Parabole en 4 points

Question

Trois points fixes sont donnés dans le plan.

Avec les trois points fixes donnés quelle est l'équation de la parabole avec un quatrième point variable $(x,y)$ et aussi quelle propriété géométrique de la parabole est altérée par le point variable non dans la zone rouge définie par Jean Marie?

Laissez-moi vous expliquer ma question:

Trois points définissent un cercle d'un rayon circonférentiel unique . Cinq points déterminent une conique d'une excentricité unique .

Et du même coup quelle est la propriété unique d'une parabole en quatre points?

Je me souviens avoir mis le discriminant à zéro sous forme standard de conique générale en obtenant deux paraboles $y=\pm \sqrt{ax+b}+(cx+d $) avec 4 constantes mais ne pouvait pas facilement obtenir une forme élégante en termes de $(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)$, ou si possible comme un produit de deux facteurs.

Vous remerciant à l'avance.

Answer 1

Cela peut être refondu dans le soi-disant "problème de Newton" tel que traité ici: http://www2.washjeff.edu/users/mwoltermann/Dorrie/45.pdf où il est montré qu'une parabole (en fait deux d'entre elles) peut passer par 4 points

État ($C_1$): les 4 points forment un quadrilatère convexe.

En conséquence, laissez $T$être le triangle "rempli" formé par les trois points initiaux. Puis condition ($C_1$) est équivalent à

État ($C_2$): [Il y a une parabole passant par les 3 premiers points et le quatrième point] si et seulement si le quatrième point est dans l'ensemble complémentaire de la région rouge interdite représentée sur la figure suivante (triangle $T$ + $3$ régions épineuses).

Fig. 1: Régions interdites pour le quatrième point (en rouge). _

Remarque: je suis très redevable à Oscar Lanzi qui a signalé une erreur de ma part sur la condition $(C_2)$dans une formulation précédente; de plus, il a pointé le cas exceptionnel où les points forment un parallélogramme: dans ce cas, la ou les paraboles sont dégénérées en 2 lignes parallèles.

$(C_2)$ équivaut à la condition suivante:

État $(C_3)$: les coordonnées barycentriques du quatrième point doivent avoir deux composantes positives et une composante négative.

En conséquence, $(C_3)$ est équivalent à:

État $(C_4)$: [Il y a une parabole passant par les 3 premiers points et le quatrième point] si et seulement si

$$\dfrac{\begin{vmatrix}x_4&x_2&x_3\\ y_4&y_2&y_3\\1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_1&x_4&x_3\\ y_1&y_4&y_3\\ 1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_4\\ y_1&y_2&y_4\\ 1&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\ 1&1&1\end{vmatrix}^3}\color{red}{<0}$$

(L'exposant 3 peut être supprimé.)

Cela peut être rendu sous la forme d'un produit symétrique de déterminants:

$$\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_2&x_3&x_4\\ y_2&y_3&y_4\\ 1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_3&x_4&x_1\\ y_3&y_4&y_1\\ 1&1&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x_4&x_1&x_2\\ y_4&y_1&y_2\\ 1&1&1\end{vmatrix}\color{red}{>0}$$

Le changement de signe vient du fait que certaines paires de colonnes ont été interchangées pour mettre les déterminants sous la forme symétrique.

Remarque à propos de la référence donnée ci-dessus: M. Woltermann (Washington and Jefferson College) a entrepris une tâche énorme: fournir une version numérique du célèbre livre "One Hundred great Problems of Mathematics" publié à l'origine en allemand en 1932 par Heinrich Dörrie, entre-temps ( intelligemment) en le soignant . Ceci explique en particulier la dernière phrase évoquant une méthode projective alternative que l'on retrouve en effet dans la version originale du livre p. 208 n ° 45 ici .

Une analyse très détaillée du problème de Newton peut être trouvée ici .

Section en cours de développement : J'ai tenté de développer ma propre preuve projective en utilisant le fait qu'il est toujours possible de donner à une parabole les équations paramétriques suivantes:

$$x=\tfrac{at^2+bt+c}{t-d}, \ \ \ y=\tfrac{et^2+ft+g}{t-d} \tag{1}$$

(un conseil pour avoir une intuition sur (1): quand $t=d$, on a le point unique à l'infini de la parabole).

Veuillez noter qu'il existe $7$ inconnues, $a,b,c,d,e,f,g$.

Contraindre un quatrième point à appartenir à cette parabole fonctionne sur des exemples numériques mais j'ai du mal à trouver une justification générale.