Picard-surjectivité et Morita-équivalence

Question

Disons qu'une algèbre $A$ sur un champ $k$ est Picard-surjectif si la carte canonique $$ \mathrm{Aut}(A) \rightarrow \mathrm{Pic}(A)$$est surjectif. Ici$\mathrm{Pic}(A)$ désigne le groupe des classes d'isomorphisme de l'inversible $A$-$A$-bimodules et la carte envoie un automorphisme $\alpha$ au $A$-$A$-bimodule $A_\alpha$, où l'action de gauche est celle habituelle et l'action de droite est via $\alpha$.

Q: Pour toute dimension finie donnée$k$-algèbre $A$, existe-t-il un équivalent à Morita qui est picard-surjectif?

Sinon, je m'intéresse aux conditions dans lesquelles cela est vrai. Je suis principalement intéressé par le cas$k=\mathbb{R}$ ou alors $\mathbb{C}$, et pour tous les exemples que j'ai proposés jusqu'à présent, cela semble être correct, pour autant que je sache.

Answer 1

Oui, l'algèbre de base de $A$ sera Picard-surjectif.

L'algèbre de base est l'algèbre d'endomorphisme $\operatorname{End}_A(\bigoplus_{i=1}^{n}P_i)$de la somme directe des modules projectifs indécomposables (à droite), un de chaque classe d'isomorphisme. C'est Morita équivalent à$A$.

Supposer $A$est basique. Puis comme module gauche ou droit,$A$est la somme directe des modules projectifs indécomposables, un de chaque classe d'isomorphisme. Supposer$M$est un bimodule inversible. Depuis$S\otimes_AM$ est différent de zéro pour chaque module simple $S$, une décomposition en somme directe de $M$comme un module de gauche doit contenir au moins une copie de chaque projectif indécomposable. Laisser$X=\bigoplus_{i=1}^nS_i$ être la somme directe de simple (à droite) $A$-modules, un de chaque classe d'isomorphisme. Depuis$X\otimes_AM\cong X\cong X\otimes_AA$, comme module de gauche $M$doit contenir exactement une copie de chaque projectif indécomposable dans une décomposition en somme directe. Donc$M\cong A$comme modules de gauche. La droite$A$-tructure du module de $M$ est alors donné par un homomorphisme d'algèbre injective $A^{op}\to\operatorname{End}_A(_AA)\cong A^{op}$, qui est un isomorphisme par dimensionnalité finie: c'est-à-dire que la bonne action est induite par un automorphisme de $A$.