Plan projectif réel de 3 manières différentes

Question

Lors de la lecture du livre Basic Topology de MA Armstrong, il existe trois interprétations du plan projectif réel:

(a) Prenez la sphère unitaire $S^n$ dans $E^{n+1}$ et le partitionner en sous-ensembles qui contiennent exactement deux points, les points étant antipodaux (aux extrémités opposées d'un diamètre). $P^n$est l'espace d'identification résultant. Nous pourrions abréger notre description en disant que$P^n$ est formé de $S^n$ en identifiant les points antipodaux.

(b) Commencez par $E^{n+1}-\{0\}$et identifiez deux points si et seulement s'ils se trouvent sur la même ligne droite passant par l'origine. (Notez que les points antipodaux de$S^n$ avoir cette propriété.)

(c) Commencez par la balle unitaire $B^n$ et identifier les points antipodaux de sa sphère limite.

Mais je ne peux pas visualiser pourquoi (a) et (c) sont identiques. S'il vous plaît, aidez-moi à en avoir une intuition.

Answer 1

Prenons la définition $P^n=S^n/[z\sim -z]$ un péché $(a)$ et travailler vers $(c)$. Nous utiliserons des coordonnées homogènes pour afficher les points de$P^n$, alors $[z_1,\dots,z_n]\in P^n$ représente la classe d'équivalence de $z=(z_1,\dots,z_n)\in S^n$.

Pour commencer, nous utiliserons des coordonnées radiales pour afficher $B^n$ comme le cône $(S^{n-1}\times I)/(S^{n-1}\times\{0\})$. La sphère frontière est alors le sous-espace$S^{n-1}\times\{0\}$. Avec cela compris, nous définissons$$\widetilde\varphi:B^n\rightarrow P^n$$ être la carte $\widetilde\varphi(z,t)=[t\cdot z,\sqrt{1-t^2}]$, où la racine carrée positive est prise dans la dernière coordonnée.

Cette carte est bien définie et satisfait de plus $\widetilde\varphi(z,1)=\widetilde\varphi(-z,1)$ pour tous $z\in S^{n-1}$. Donc si nous laissons$Q^n$ être l'espace quotient de $B^n$ obtenu en identifiant les points antipodaux de $S^{n-1}$, alors il y a une carte induite $$\varphi:Q^n\rightarrow P^n.$$La dernière chose à vérifier est que cette carte est un homéomorphisme, que je vous laisse. Le point est que donné$[z_1,\dots,z_n]\in P^n$, Soit $z_n=0$, ou $z_n\neq 0$et il y a un représentant unique de$[z_1,\dots,z_n]$ avec $z_n>0$. C'est la raison pour laquelle il a été précisé ci-dessus que la racine carrée positive devait être prise. Avec ça ce n'est pas difficile de voir ça$\varphi$est un bijectif continu. Écrire un inverse continu n'est pas difficile. Alternativement,$Q^n$ est compact, donc si vous êtes content que $P^n$ est Hausdorff, alors avoir une bijection continue suffit.