Pourquoi une intersection transversale devrait-elle donner une multiplicité d'intersection?
Mon cadre est celui de Hartshorne chapitre I («variétés classiques» sur un champ algébriquement clos, qui sont irréductibles [pas des schémas]).
Arrière-plan
J'ai travaillé sur le problème 7.7 (a) et j'ai heurté un peu un mur avec la partie (a):
Problème 7.7. Laisser$Y$ être une variété de dimension $r$ et degré $d>1$ dans $\Bbb P^n$. Laisser$P\in Y$être un point non singulier. Définir$X$ être la fermeture de l'union de toutes les lignes $PQ$, où $Q\in Y$, $Q\neq P$.
(a) Montrez que $X$ est une variété de dimension $r+1$.
Clairement $X$ contient $Y$, donc $X$ doit être de dimension au moins $r$. Par contre, on peut définir une carte$f$ de $(Y\setminus\{P\})\times\Bbb P^1$ à $X$ En envoyant $(Q,[a:b])\mapsto aQ+bP$ qui surjecte sur la collection de points dans $X$ qui sont sur une ligne $PQ$ avec $Q\in Y$ et $Q\neq P$. Depuis$(Y\setminus\{P\})\times\Bbb P^1$ est irréductible, cela montre que $X$ est irréductible, et la carte est dominante, nous obtenons donc une extension des champs de fonction $k(X)\to K(Y\times\Bbb P^1)$. Cela montre que$\dim X \leq r+1$. Donc tout ce que j'ai à faire pour finir le problème est de montrer que$X$ contient un point qui n'est pas dans $Y$. Cela s'avère plus difficile que ce à quoi je m'attendais!
Voici comment je voudrais résoudre ce problème: Choisissez un hyperplan $H$ à travers $P$ qui est transversal à $Y$ (nous pouvons le faire parce que $r<n$ par l'hypothèse de degré plus le fait que $P$est un point lisse). Puis l'ensemble algébrique$Y\cap H$ est lisse à $P$ (Je peux le prouver via les critères jacobiens), il y a donc une composante irréductible unique $Z\subset Y\cap H$ à travers $P$. Si je pouvais prouver que la multiplicité d'intersection le long de$Z$ est égal à un, je gagnerais: soit $Y\cap H$ est réductible et je peux me connecter $P$ avec un point $Q$ sur un autre composant irréductible et trouvez un point dans $X\setminus Y$ sur la ligne $PQ$, ou alors $Y\cap H=Z$, une variété de dimension $r-1$ et degré $d$, et finalement je peux le réduire au cas d'une courbe et je comprends ce qu'il faut faire dans ce cas.
Question
Supposer $Y\subset \Bbb P^n$ est une variété de dimension $r$ et degré $d>1$, et $P$ un point lisse sur $Y$. Supposer$H$ est un hyperplan à travers $P$ de sorte que $Y\cap H$ est lisse à $P$ et $Y\cap H$est irréductible. Pourquoi devrais-je$i(Y,H;Y\cap H)=1$?
Mes pensées
Le problème est que je ne suis pas sûr de savoir pourquoi ou comment je devrais pouvoir obtenir ce résultat. Je suis censé calculer la longueur de$(S/(I_Y+h))_\mathfrak{p}$ sur l'anneau local $S_\mathfrak{p}$, où $\mathfrak{p}$ est l'idéal premier homogène correspondant à la sous-variété irréductible $Y\cap H$ et $h$ est un générateur de l'idéal de $H$. Je peux montrer que c'est la même chose que ce que vous voudriez dans le cas affine - c'est-à-dire si nous travaillons dans un patch affine standard$U$ contenant $P$, Je peux montrer que la multiplicité d'intersection est la même que la longueur de $(k[Y\cap U]/(\widetilde{h}))_{\mathfrak{p}'}$ plus de $k[Y\cap U]_{\mathfrak{p}'}$ où $\mathfrak{p}'$ est l'idéal correspondant à $Y\cap H\cap U$, mais je ne vois pas comment je suis censé conclure que c'est $1$ si je connais la douceur à $P$.
Edit: j'ai fait un peu de progrès - je peux montrer que $f$ est dans l'idéal maximal de $P$ dans $Y$ mais pas c'est carré, donc $f$ est dans l'idéal de $Y\cap H$mais pas c'est carré. Je ne vois toujours pas comment cela donne que la multiplicité de l'intersection est une - j'aurais besoin de savoir quelque chose du genre$\mathcal{O}_{Y,Y\cap H}$ayant le principal idéal maximal, ce qui voudrait dire que c'est un DVR? Toujours assez coincé, cependant.
Ou, si vous pensez que je suis en train d'aboyer le mauvais arbre, y a-t-il une autre façon dont je suis censé terminer le problème 7.7 (a)?
Réponses
Dans la langue de la poste, l'anneau local de $Y\cap H\cap U$ à $P$ est $\mathcal{O}_{Y,P}/\sqrt{(f)}=k[x_1,\cdots,x_n]_{(x_1,\cdots,x_n)}/\sqrt{(I_{Y\cap U}+(f))}_{(x_1,\cdots,x_n)}$, qui est la réduction de $k[x_1,\cdots,x_n]_{(x_1,\cdots,x_n)}/(I_{Y\cap U}+(f))_{(x_1,\cdots,x_n)}$. Mais le théorème de Hartshorne I.5.1 dit que ce dernier anneau est en fait un anneau local régulier par le critère jacobien et donc réduit. Donc c'est une égalité, et$\mathcal{O}_{Y\cap U,P}/\sqrt{(f)}=\mathcal{O}_{Y\cap U,P}/(f)$. Par la transitivité de la localisation, nous avons que$\mathcal{O}_{Y\cap U,Z\cap U}=(\mathcal{O}_{Y\cap U,P})_{I_{Z\cap U,P}}$, donc la multiplicité de $k[U]/(I_{Y\cap U}+(f))$est une. Puisque cela est égal à la multiplicité de la version homogène, nous avons que la multiplicité d'intersection est un.