Preuve de la théorie d'ensemble de la différence d'ensemble

Question

J'apprends juste des preuves de la théorie des ensembles et je me débat avec les éléments suivants:

Prouve-le $(S_1 \setminus S_2) \cup (S_2 \setminus S_3) \subseteq (S_1 \cup S_2) \setminus(S_1 \cap S_2 \cap S_3)$

Voici ma tentative jusqu'à présent:

1. Laisser $x \in (S_1 \setminus S_2) \cup (S_2 \setminus S_3)$ donc nous savons par définition que $x\in S_1 $et $ x \notin S_2$ ou $x\in S_2 $et $ x \notin S_3$.
2. Alors $x \in S_1$ ou $x\in S_2$ et $x \notin S_2$ et $x \notin S_3$.
3. $(S_1 \cup S_2) \setminus(S_2\cap S_3)$

Je ne sais pas comment continuer cette preuve ou si mes étapes ci-dessus sont même correctes. Toute aide ou information est grandement appréciée. Je vous remercie!

Answer 1

Réparer $x\in (S_1\setminus S_2)\cup (S_2\setminus S_3)$.

Supposons d'abord que $x\in S_1\setminus S_2$. ensuite$x\in S_1$, et donc $x\in S_1\cup S_2$. Également,$x\not\in S_2$, alors $x\not \in S_1\cap S_2\cap S_3$. Par conséquent,$x\in (S_1\cup S_2)\setminus (S_1\cap S_2 \cap S_3)$.

L'affaire $x\in S_2\setminus S_3$ est analogue.

Answer 2

Vous pouvez également utiliser l'algèbre des ensembles pour simplifier l'inclusion que vous devez prouver. Rappelons que par définition$A\backslash B=A\cap B^c$.

Nous avons donc \ begin {équation} \ begin {split} (S_1 \ cup S_2) \ backslash (S_1 \ cap S_2 \ cap S_3) & = (S_1 \ cup S_2) \ cap (S_1 \ cap S_2 \ cap S_3) ^ c \\ & = (S_1 \ cup S_2) \ cap ({S_1} ^ c \ cup {S_2} ^ c \ cup {S_3} ^ c) \ end {split} \ tag {1} \ end {équation}

Et pour l'autre ensemble, \ begin {equation} \ begin {split} (S_1 \ backslash S_2) \ cup (S_2 \ backslash S_3) & = (S_1 \ cap {S_2} ^ c) \ cup (S_2 \ cap {S_3 } ^ c) \\ & = (S_1 \ cup S_2) \ cap (S_1 \ cup {S_3} ^ c) \ cap ({S_2} ^ c \ cup S_2) \ cap ({S_2} ^ c \ cup {S_3 } ^ c) \\ & = (S_1 \ cup S_2) \ cap \ big ((S_1 \ cap {S_2} ^ c) \ cup {S_3} ^ c \ big) \ end {split} \ tag {2} \ end {équation}

Donc à partir de (1) et (2), il suffit de prouver que $$\big((S_1\cap {S_2}^c)\cup{S_3}^c\big)\subseteq({S_1}^c\cup {S_2}^c\cup {S_3}^c)$$ allusion: $(S_1\cap {S_2}^c)\subseteq S_2^c$