Probabilité d'assembler parfaitement un cube

Question

Supposons qu'un cube blanc soit peint en rouge à l'extérieur, puis séparé en $n^3$cubes plus petits identiques, puis assemblés au hasard. Quelle est la probabilité que le cube réassemblé soit tout rouge à l'extérieur?

Answer 1

Il y a $(n^3)!\cdot24^{n^3}$moyens de remonter le cube si nous donnons à chaque cube une orientation. Le nombre de façons de remonter qui préservent l'extérieur rouge est le produit de

• $8!\cdot3^8$ façons de placer / d'orienter les cubes d'angle
• $(12(n-2))!\cdot2^{12(n-2)}$ façons de placer / d'orienter les cubes de bord
• $(6(n-2)^2)!\cdot4^{6(n-2)^2}$ façons de placer / d'orienter les cubies de face centrale
• $((n-2)^3)!\cdot24^{(n-2)^3}$ façons de placer / orienter les compartiments intérieurs.

Donc, la probabilité finale est $$\frac{8!\cdot3^8\cdot(12(n-2))!\cdot2^{12(n-2)}\cdot(6(n-2)^2)!\cdot4^{6(n-2)^2}\cdot((n-2)^3)!\cdot24^{(n-2)^3}}{(n^3)!\cdot24^{n^3}}$$