Problème de coefficient dans la classe $\Sigma$

Question

Laisser $\Sigma$ être la classe des fonctions holomorphes univalentes (injectives) sur $\mathbb{C}\backslash \mathbb{D}$ où $\mathbb{D}$est le disque d'unité fermée. Analogue à la célèbre conjecture de Bieberbach est le problème de trouver des bornes nettes pour le coefficient$b_n$ des fonctions $$g(z) = z + b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots$$ dans $\Sigma.$Cependant, ce problème est nettement plus compliqué que la conjecture de Bieberbach car il n'y a pas de bon candidat pour les fonctions extrémales ici. La conjecture initiale$$|b_n| \leq \frac{2}{n+1}$$ est faux et, pour autant que je sache, nous n'obtenons que les limites précises pour $b_2$ et $b_3$, à savoir $$|b_2| \leq \frac{2}{3} \quad \text{and} \quad |b_3| \leq \frac{1}{2} + e^{-6}.$$ Il y a aussi quelques théorèmes qui donnent plus d'informations si on ajoute des conditions supplémentaires sur la fonction $g$mais ceux-là ne m'intéressent pas ici. Ma question est assez générale:

Quels sont les résultats récents concernant les bornes nettes des coefficients $b_n$dans le cas général? Par exemple, le savons-nous pour$|b_4|$ou sommes-nous toujours coincés? Y a-t-il un nouveau candidat pour les fonctions extrêmes?

Étonnamment, ces informations sont difficiles à obtenir dans la littérature car $\Sigma$ est beaucoup moins étudié que $\mathcal{S}$. Merci pour toute aide.

Answer 1

Les derniers résultats ne sont pas très récents. La plupart d'entre eux sont mentionnés dans l'article

MR1162188 Carleson, Lennart; Jones, Peter W. Sur les problèmes de coefficient pour les fonctions univalentes et la dimension conforme. Duke Math. J. 66 (1992), no. 2, 169–206.

Laisser $B_n=\sup_\Sigma |b_n|$. La question porte sur l'ordre de diminution de$B_n$. Une estimation simple est$B_n\leq n^{-1/2}$, et l'ancien résultat de Clunie et Pommerenke dit $B_n\leq Cn^{-0.503}$. Je ne sais pas si cela s'est jamais amélioré, si c'était le cas, alors de très peu. Carleson et Jones ont prouvé que$\gamma:=-\lim \log B_n/\log n$existe. (Donc par Clunie-Pommerenke,$\gamma>0.5$). Les fonctions extrémales sont apparemment des cartes conformes sur des compléments de certains ensembles de Julia ou d'autres fractales auto-similaires. À l'aide des décors de Julia, Carleson et Jones ont pu montrer que$\gamma\leq 0.79$, (assisté par ordinateur), et a supposé qu'en fait $\gamma=3/4$. Cette conjecture est probablement inédite, mais elle a été discutée parmi les spécialistes dans les années 1990. Je ne connais aucun progrès substantiel depuis lors.