Problème de comptage: mallettes

Question

Supposons que vous et un ami ayez neuf mallettes d'aspect identique, dont trois contiennent 100 $ tandis que les autres sont vides. Vous choisissez à tour de rôle des mallettes (avec la première personne choisissant 5 et la seconde choisissant 4), et ce n'est qu'à la fin que les mallettes sont ouvertes. J'ai fait 1 à 4 parties de ces questions HW mais je ne sais pas comment faire la dernière:

1. Si vous y allez en premier, quelle est la probabilité que vous choisissiez une mallette vide lors de votre premier tour.
2. Disons que vous êtes allé en premier et avez choisi une mallette vide. Quelle est la probabilité que votre ami choisisse également une mallette vide lors de son premier tour, étant donné que vous en avez également choisi une vide lors de votre premier tour.
3. Disons que vous êtes allé en premier et avez choisi une mallette avec 100 dollars. Quelle est la probabilité que votre ami choisisse une mallette vide lors de son premier tour, étant donné que vous en avez également choisi une avec 100 dollars lors de votre premier tour.
4. Si le jeu devait se terminer après que chaque personne ait joué une seule fois, montrez que la probabilité que vous choisissiez une mallette avec 100 dollars est la même, que vous commenciez ou non.
5. Si le jeu devait se terminer une fois que chaque mallette a été choisie, serait-il préférable de commencer ou de passer en second?

EDIT: Le but du jeu est de gagner le moins d'argent possible car «le jeu est mauvais».

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Ma tentative:

1. La réponse est non. de façons dont vous pouvez choisir une mallette vide divisée par le non. des façons dont vous pouvez choisir une mallette. C'est 6C1 (puisqu'il y a 6 mallettes vides) divisé par 9C1 qui est égal à 2/3.

2. Je pense que la réponse à cette question est 2/3 (de la partie 1) multiplié par 5C1 (puisqu'il reste maintenant 5 mallettes vides et que l'ami en choisit une) divisé par 8C1 (puisqu'il ne reste plus que 8 valises à choisir ). C'est environ. 0.4167.

3. Je crois que c'est $ \ frac {3C1} {9C1} \ cdot \ frac {6C1} {8C1} $ puisque la première personne doit choisir l'une des trois mallettes d'argent sur un total de 9, tandis que la seconde doit en choisir une des 6 mallettes vides sur les 8 restantes. C'est 0,25.

4. La façon dont j'ai pensé aborder cela était de considérer quatre événements différents, où:

   • Événement A: Vous obtenez 100 dollars en premier, puis un ami choisit le vide.
   • Événement B: vous obtenez 100 dollars en premier, puis un ami reçoit également 100 dollars.
   • Événement C: Votre ami commence et reçoit 100 dollars, puis vous obtenez également 100 dollars.
   • Événement D: Votre ami commence et choisit vide, puis vous obtenez 100 dollars.

   Par conséquent, si vous passez en premier, la probabilité d'obtenir 100 dollars est la probabilité de l'événement A plus la probabilité de l'événement B.Si vous passez en second, c'est la probabilité de l'événement C plus la probabilité de l'événement D. Ces deux expressions sont $ \ frac {3C1 \ cdot 6C1} {9C1 \ cdot 8C1} + \ frac {3C1 \ cdot 2C1} {9C1 \ cdot 8C1} $ qui vaut 1/3.

5. Cette partie, je suis confus sur la façon d'aborder, car il existe de nombreuses séquences différentes éventuellement de choisir 6 mallettes vides et 3 avec 100 dollars.

Tout avis serait grandement apprécié.

Answer 1

Si vous y allez en premier, le nombre de valises «argent» que vous obtenez suit une distribution hypergéométrique , puisque vos cinq valises sont tirées sans remplacement dans une population de$3$ valises "argent" et $6$ vides.

$$P(X=k) = \begin{cases} \frac{\binom{3}{0} \binom{6}{5}}{\binom{9}{5}} = \frac{6}{\binom{9}{5}} & k=0 \\ \frac{\binom{3}{1} \binom{6}{4}}{\binom{9}{5}} = \frac{45}{\binom{9}{5}} & k = 1 \\ \frac{\binom{3}{2} \binom{6}{3}}{\binom{9}{5}} = \frac{60}{\binom{9}{5}} & k = 2 \\ \frac{\binom{3}{3} \binom{6}{2}}{\binom{9}{5}} = \frac{15}{\binom{9}{5}} & k = 3 \end{cases}$$

Si vous passez en deuxième, les probabilités correspondantes seront dans l'ordre inverse. Vous pouvez voir que le joueur qui commence a tendance à avoir plus de valises d'argent.

Answer 2

Votre réponse au n ° 2 est fausse.

Disons que vous êtes allé en premier et avez choisi une mallette vide. Quelle est la probabilité que votre ami choisisse également une mallette vide lors de son premier tour, étant donné que vous en avez également choisi une vide lors de votre premier tour.

Vous devez supposer que vous êtes déjà allé en premier et choisi une mallette vide. Cela signifie qu'il reste 8 mallettes dont seulement 5 sont vides.

La réponse est

$$\frac{5}{8}.$$

Pour la même raison que ci-dessus, la réponse à la question 3 est

$$\frac{6}{8}.$$

Le n ° 4 est délicat et peut être attaqué de deux manières différentes.

L'approche piétonne est que

• votre chance d'avoir une mallette avec de l'argent, si vous y allez en premier est $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

• si vous passez deuxième, il y a deux possibilités: soit votre ami a choisi une mallette vide, puis vous en avez choisi une avec de l'argent, soit votre ami a choisi une mallette avec de l'argent et vous en avez également choisi une avec de l'argent.

  Les probabilités combinées ici sont $\left(\frac{6}{9} \times \frac{3}{8}\right) ~+~ \left(\frac{3}{9} \times \frac{2}{8}\right) ~=~ \frac{24}{72} = \frac{1}{3}.$

L'analyse la plus élégante est de penser que choisir une mallette équivaut mathématiquement à se voir remettre une mallette au hasard. Si un modérateur choisit deux mallettes au hasard, une pour vous et une pour votre ami, la chance que votre mallette contienne de l'argent n'est pas affectée par le fait que le modérateur vous remette votre mallette avant ou après que le modérateur ait remis sa mallette à votre ami.

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J'ai mal interprété

Si le jeu devait se terminer une fois que chaque mallette a été choisie, serait-il préférable de commencer ou de passer en second?

Si vous y allez en premier, vous recevrez 5 mallettes et votre ami ne recevra que 4 mallettes. Cela équivaut à prétendre qu'il y a 10 mallettes au lieu de 9 et que la 10e mallette est forcée d'être vide.

Par conséquent, si vous y allez en premier, vous aurez 5 mallettes, dont chacune peut avoir de l'argent. Si vous passez deuxième, l'une de vos mallettes (la 10e mallette imaginaire) est forcée d'être vide.

Par conséquent, la personne qui passe en deuxième peut s'attendre à gagner moins d'argent.