Problème de convergence de la relation de récurrence
Les deux séquences $\{a_n\}$ et $\{b_n\}$ sont définis par $$a_1=0, \ \ b_1=1$$ $$ \begin{cases} a_{n+1} &= a_{n}-\frac{b_n}{n+1} \\ b_{n+1} &= na_{n}-b_n \end{cases}\ ,\ n\in\mathbb{N} $$ Je veux montrer que les deux $\{a_n\}$ et $\{b_n\}$ convergent vers $0$. Au début, j'ai essayé de voir si une séquence augmentait et une autre diminuait, et les deux sont bornées, alors je peux utiliser le théorème de convergence monotone, mais après avoir calculé les premiers termes, j'ai compris que$b_n$ n'est pas monotone.
Ensuite, j'ai observé que $a_n=a_1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{b_k}{k+1}$. Cependant, lorsque j'ai essayé d'obtenir un résultat similaire pour$b_n$, J'obtiens un résultat étrange, qui est $$b_n=na_n-(n-1)a_{n-1}+(n-2)a_{n-2}-\cdots+(-1)^na_1+(-1)^{n+1}b_1$$ Et il ne semble pas utile de conclure que les deux séquences convergeront vers $0$.Je me demande donc s’il existe une meilleure façon de le prouver.
Réponses
Allusion.
Il s'agit d'une récurrence linéaire, donc elle peut être représentée comme
$$ R_{n+1}=M_n R_n $$
Ici $M_n = \left( \begin{array}{cc} 1 & -\frac{1}{n+1} \\ n & -1 \\ \end{array} \right)$ avec des valeurs propres $\pm\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ et $|\pm\frac{1}{\sqrt{n+1}}|<1$ pour $n > 0$
Vous pouvez également utiliser les fonctions caractéristiques pour $a_n, b_n$ pour résoudre ceci:
$$ \cases{ \sum_{k=0}^n\left((k+1)a_{k+1}x^k-k a_k x^k - a_k x^k + b_k x^k\right) = 0\\ \sum_{k=0}^n\left(b_{k+1}x^k-k a_kx^k + b_k x^k\right) = 0} $$
appelle maintenant
$$ A(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k\\ B(x) = \sum_{k=0}^n b_k x^k\\ $$
nous avons
$$ \cases{ A'(x)-x A'(x)-A(x)+B(x) = 0\\ \frac 1x \left(B(x)-b_0\right) -x A'(x)+B(x) = 0 } $$
etc.
Astuce : il est facile d'obtenir$$a_{n+2} = \frac{1}{n+2}(a_{n+1} + a_n), \ n\ge 1 \tag{1}$$ et $$b_{n+2} = \frac{1}{n}(b_{n+1} + b_n), \ n\ge 1. \tag{2}$$
Ensuite, utilisez une forte induction mathématique pour prouver que $|a_n| \le \frac{1}{n}$ pour tous $n\ge 1$.
Alors prouvez que $a_n = b_{n+2}, n\ge 1$.