Problème pour trouver le bundle normal

Question

Considérez l'hypersurface quadrique $C=V(x_0x_3+x_1x_4+x_2x_5)\subset\mathbb{P}^5$. Il est évident$C$ contient deux $\mathbb{P}^2$est donné par l'équation $\mathbb{P}^2_a=V(x_3,x_4,x_5)$ et $\mathbb{P}^2_b=V(x_0,x_1,x_2)$.

Je voudrais calculer le bundle normal $\mathcal{N}_{\mathbb{P}^2_a\mid C}$, alors j'ai pensé que je pourrais utiliser la séquence

$$\mathcal{N}_{\mathbb{P}^2_a\mid Y}\to \mathcal{N}_{\mathbb{P}^2_a\mid C} \to \mathcal{N}_{Y\mid C}|_{\mathbb{P}^2_a}$$

où $Y$ est une sous-variété de $C$ contenant $\mathbb{P}^2_a$. Le problème est que je ne trouve pas de sous-variété appropriée, et je suis assez coincé car je ne sais pas grand-chose sur la façon de calculer le bundle normal, en dehors de cette formule (et celle pour le cas d'un hyperplan). Merci d'avance!

Answer 1

Vous avez des incorporations $ \mathbb{P}^2 \to C \to \mathbb{P}^5 $ qui composent pour donner une intégration standard de $\mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^5$ qui est la disparition des fonctions de coordonnées: $V(x_3, x_4, x_5)$ où $\mathbb{P}^5 = \mathrm{Proj}(k[x_0, \dots, x_5])$. Laisser$Z = V(x_3, x_4, x_5) = \mathbb{P}^2$.

Parce que tout est régulier (et donc les immersions fermées sont des immersions régulières) toutes les poulies normales sont des faisceaux vectoriels (finis localement libres) et il y a une courte séquence exacte, $$ 0 \to \mathcal{N}_{Z/C} \to \mathcal{N}_{Z/\mathbb{P}^5} \to (\mathcal{N}_{C/\mathbb{P}^5})|_{Z} \to 0 $$nous devrions calculer ces termes. D'abord, depuis$C$ est une hypersurface de degré deux sa gerbe d'idéaux est $\mathcal{I} = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(-2)$ il y a explicitement une séquence exacte, $$ 0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(-2) \xrightarrow{F} \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5} \to \mathcal{O}_{C} \to 0 $$ où $F = x_0 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_5$. Donc,$$ \mathcal{C}_{C/\mathbb{P}^5} = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(-2) \otimes \mathcal{O}_{C} = \mathcal{O}_C(-2) $$ donc le bundle normal est, $$ \mathcal{N}_{C/\mathbb{P}^5} = \mathcal{C}_{C/ \mathbb{P}^5}^\vee = \mathcal{O}_C(2) $$ De plus, depuis $\mathcal{O}_C(2)$ est le retrait de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(2)$ en dessous de $C \to \mathbb{P}^5$ et $Z \to C \to \mathbb{P}^5$ est un hyperplan de degré 1, donc $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(2)|_{Z} = \mathcal{O}_Z(2)$ Et ainsi, $$ (\mathcal{N}_{C/\mathbb{P}^5})|_{Z} = \mathcal{O}_Z(2) $$

Ensuite, pour calculer $\mathcal{N}_{Z/\mathbb{P}^5}$ nous pouvons utiliser le complexe Kozul pour l'idéal $\mathcal{I} = (x_3, x_4, x_5) $, $$ 0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(-3) \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(-2)^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(-1)^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5} \to \mathcal{O}_Z \to 0 $$ puis en revenant vers $Z$ donne une séquence exacte à droite, $$ \mathcal{O}_{Z}(-2)^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{Z}(-1)^{\oplus 3} \to \mathcal{C}_{Z/\mathbb{P}^5} \to 0 $$ mais les fonctions de coordonnées disparaissent sur $Z$ donc la première carte est zéro donnant, $$ \mathcal{N}_{Z/\mathbb{P}^5} = \mathcal{C}_{Z/\mathbb{P}^5}^\vee = \mathcal{O}_Z(1)^{\oplus 3} $$ Par conséquent, nous avons une séquence exacte, $$ 0 \to \mathcal{N}_{Z/C} \to \mathcal{O}_Z(1)^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_Z(2) \to 0 $$ Comparez cela avec la séquence d'Euler, $$ 0 \to \Omega_{\mathbb{P}^2} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-1)^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2} \to 0 $$

Notez que les cartes $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$ sont classés par triplets de sections, $$\mathrm{Hom}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}^{\oplus 3}, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)) = \Gamma(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1))^{\oplus 3}$$ qui sont $ 3 \times 3 $matrices avec des cartes surjectives correspondant à des matrices non singulières. Par conséquent, pour chaque paire de cartes surjectives$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$ il y a un automorphisme de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}^{\oplus 3}$ compatible avec eux donc il existe un schéma, $\require{AMScd}$ \ begin {CD} 0 @ >>> \ mathcal {N} _ {Z / C} @ >>> \ mathcal {O} _Z (1) ^ {\ oplus 3} @ >>> \ mathcal {O} _Z (2) @ >>> 0 \\ @. @VVV @VVV @ | \\ 0 @ >>> \ Omega _ {\ mathbb {P} ^ 2} (2) @ >>> \ mathcal {O} _Z (1) ^ {\ oplus 3} @ >>> \ mathcal {O} _Z (2) @ >>> 0 \\ \ end {CD}

où les cartes verticales sont des isomorphismes. Donc,$\mathcal{N}_{\mathbb{P}^2/\mathbb{P}^5} \cong \Omega_{\mathbb{P}^2}(2)$.