Produit «complexe simplicial» de groupes?
Laisser $X=(V,E)$ être un graphe, et à chaque sommet $v \in V$, associer un groupe $G_v$. Le produit graphique des groupes$G_v$(tel que défini par exemple ici ) est$F/R$; le quotient du produit libre du$G_v$ par le par le sous-groupe normal généré par les commutateurs $[G_{u_1},G_{u_2}]$, où $\{u_1,u_2\} \in E$.
Laisser $K$ être un complexe simplicial sur un ensemble de sommets $V$, et laissez $G_v$être une collection de groupes. On peut aussi associer un graphe produit de groupes$G^K$ à $K$ en prenant le graphe qui est le $1$-squelette de $K$. $G^K$ ne dépend pas alors des simplices supérieurs de $K$. En particulier, cela ne dépend pas des faces manquantes de dimension supérieure à$1$.
Je souhaite trouver une généralisation de la construction du produit graphique de groupes pour prendre en compte les simplices supérieures (ou les faces manquantes) de $K$, mais qui concorde avec la construction du produit graphique de groupes dans le cas où $K$ est le drapeau.
On peut tenter de faire cette généralisation en prenant la colimite du diagramme approprié dans $\mathbf{Grp}$. Autrement dit, prenez la colimite du diagramme$\mathcal{D}: Cat(K) \rightarrow \mathbf{Grp}$, un foncteur de la catégorie visage de $K$ à $\mathbf{Grp}$, qui associe à chaque simplexe $\{v_{i_1},...,v_{i_j} \} = \sigma \in K$ le produit direct $\prod_{j} G_{v_{i_j}}$, et prend des inclusions de simplices à des inclusions de groupes
Cela ne fonctionne pas, car cela ne dépend que de la $1$-squelette de $K$. Le problème semble être l’absence de «commutativité plus élevée»$\mathbf{Grp}$.
Dans leur livre Metric Spaces of Non-Positive Curvature, Bridson et Haefliger définissent des complexes de groupes et le groupe fondamental d'un tel complexe. On peut utiliser$K$construire un simple complexe de groupes (associant à chaque simplexe le produit des groupes de sommets) et prendre ensuite le groupe fondamental. Cette construction semble pouvoir m'amener quelque part, mais il ne semble pas possible de l'utiliser / l'adapter à la généralisation du produit graphique des groupes - malgré le fait que le groupe fondamental résultant semble dépendre des simplices supérieurs de$K$.
Intuitivement (pour moi), le groupe fondamental semble être un invariant qui dépend des «boucles» dans $K$, plutôt que des visages manquants.
Voir les groupes comme des groupes topologiques discrets et prendre la colimite d'homotopie semble être une voie à suivre, mais la construction de colimites d'homotopie en $\mathbf{TGrp}$ semble très impliqué.
Existe-t-il une construction qui rend possible une telle généralisation?
Réponses
Je ne sais pas si cela aidera, mais dans https://arxiv.org/pdf/math/0101220.pdf, nous avons utilisé des produits graphiques d'espaces (qui, je pense, avaient été introduits par Danny Cohen mais je ne suis pas sûr). Cela conduit à un produit tensoriel de graphes des résolutions croisées des groupes. Cela donnera une résolution du produit graphique. Je ne suis pas sûr de l'interprétation catégorique de ce produit graphique des espaces.
Un point peut être dans votre cas de remplacer les groupes, non par des groupes topologiques (discrets), mais soit par des groupoïdes (en utilisant chaque groupe comme un groupoïde avec un seul objet) ou par leurs nerfs, qui classifient les espaces des groupes. Cela correspond à notre situation mais sans la commutativité plus élevée qui résulte de l'utilisation de complexes croisés. Cela permet également de penser à d'autres paramètres plus généraux. N'oubliez pas que la catégorie des groupes peut être considérée comme une catégorie 2, en l'incluant dans la catégorie des groupoïdes et cela implique une conjugaison, cela peut donc être utile pour votre question. Il y a aussi les$cat^n$-groupes de modélisation de Loday de l'homotopie $n$-types, où un sens à une commutativité plus élevée est certainement en évidence, car ils sont également croisés $n$-cubes de groupes. (Je peux fournir plus de détails si vous en avez besoin.)
BTW La commutativité plus élevée que vous voulez et que vous dites n'est pas là $\mathbf{Grp}$existe-t-il dans des groupes simpliciaux (oid), alors développez vos groupes dans des dimensions plus élevées afin d'encoder davantage la commutativité supérieure, qui provient de plusieurs commutateurs. (Cela concerne beaucoup de problèmes dans la théorie de la réécriture, mais cela m'éloignerait trop de votre question!)
Un autre cadre qui peut vous donner quelques idées est celui d'une idée explorée par Abels et Holz (H. Abels et S. Holz. Génération supérieure par sous-groupes. J. Alg, 160: 311– 341, 1993). interprété comme provenant d'un recouvrement d'un groupe par sous-groupes (et on connaît des informations homologiques sur ces sous-groupes). Ceci est lié aux idées de Haefliger mais ne va pas dans le même sens. Dans toutes ces idées d'orbifolds et de piles se cachent probablement, mais encore une fois, je ne les explorerai pas ici (car je ne suis pas un expert dans ces domaines.)
J'espère que certaines de ces idées vous aideront.
Edit: Je viens d'avoir une autre idée sur le lien entre certaines des pensées ci-dessus. C'est-à-dire penser aux sous-groupes de commutateurs dans$F$ comme étant des modules croisés ne formant donc pas le quotient $F/R$ en tant que tel mais laissant $[G_u,G_v]$ comme si dans une dimension supérieure $F$. L'objet résultant prendra la présentation que vous donnez comme la chose importante, plutôt que le groupe qu'il présente. On devrait pouvoir donner une signification au triple commutateur et donc obtenir un module à 2 croisés ou quelque chose de similaire. (Encore une fois, si vous avez besoin de références, je peux les donner mais ici ne serait pas un bon endroit.)