Prouver $A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$

Question

J'essaye de prouver que pour les sets $A$ et $B$ nous avons $$A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$$

Je procède comme suit:

Si $x\in A\setminus(A\setminus B),$ puis $$\begin{align}x\in A \wedge x\notin(A\setminus B) \tag1& \iff x\in A \wedge (x\notin A \vee x\in B)\\ &\iff (x\in A \wedge x\notin A) \vee(x\in A \wedge x\in B)\tag2\\ & \iff x\in A \wedge x \in B\tag3\\ & \iff x\in A\cap B\tag4\end{align}$$

Ainsi depuis $A\setminus(A\setminus B)\subset A\cap B$ et $A\cap B \subset A\setminus(A\setminus B)$, nous avons

$$A\setminus(A\setminus B) = A \cap B$$

Ma question est: qu'est-ce que $(x\in A \wedge x \notin A)$ contribuer en ligne $2$? Pour que la preuve fonctionne, il faut supposer que$x\in A \wedge x \notin A $ équivaut à dire $x\in\emptyset$. Est-ce correct?

Answer 1

Déclaration $x\in A\wedge x\notin A$ équivaut en effet à l'affirmation selon laquelle $x\in\varnothing$.

Mais ceci uniquement sur la base du fait que les deux déclarations sont fausses .

C'est par exemple également équivalent à l'affirmation selon laquelle $1=2$.

Déclaration $p\vee q$ est une vraie déclaration ssi $p$ est une vraie déclaration ou $q$ est une vraie déclaration.

Donc, si nous observons dans cette situation que $p$ est faux alors nous concluons que $q$ est vrai.

Answer 2

C'est vrai. Comment pourriez$x$ les deux sont dans $A$ et aussi ne pas être dans $A$? Cela n'arrive jamais, donc quand nous "ou" cette condition avec quoi que ce soit d'autre, nous pouvons de manière équivalente simplement omettre la condition impossible (qui est la façon dont la ligne 3 a été obtenue).

«J'ai sept ans et j'ai neuf ans» ou «Je possède une plante en pot» équivaut à «Je possède une plante en pot».