Prouver une propriété de limite

Question

Je veux prouver la propriété suivante:

Laisser $(a_n),(b_n)$ être des séquences dans $\mathbb{R}$, $a_n\to a $ et $b_n\to b$

$(\exists\ n_0 \in\mathbb{N}\ \forall n \geq n_0: a_n \leq b_n)\Rightarrow a\leq b $, suppose $a>b\ , \epsilon:=(a-b)/2 $

À un moment donné, mon script mentionne que $-(a_n-a)<\epsilon $ et $b_n - b<\epsilon$

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer l'intution derrière l'étape ci-dessus.

Merci d'avance.

Answer 1

Vous voulez prouver que, à condition que la première séquence converge vers $a$ et le second à $b$, ça tiens $a\le b$.

Supposons que non, alors $a>b$. Par conséquent$\varepsilon=(a-b)/2>0$ et nous pouvons trouver $n_1\ge n_0$ tel que, pour $n\ge n_1$, $$ |a_n-a|<\varepsilon,\qquad |b_n-b|<\varepsilon \tag{*} $$ Cela se traduit par $$ -\varepsilon<a_n-a<\varepsilon,\qquad -\varepsilon<b_n-b<\varepsilon $$ La première paire d'inégalités implique $-(a_n-a)<\varepsilon$. Vous pouvez également isoler$b_n-b<\varepsilon$ et dériver une contradiction.

D'un autre côté, je réécrirais plus simplement (*) comme $$ a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon,\qquad b-\varepsilon<b_n<b+\varepsilon $$ et observe que $b+\varepsilon=(a+b)/2=a-\varepsilon$, alors cela devient $$ \frac{3b-a}{2}<b_n<\frac{a+b}{2}<a_n<\frac{3a-b}{2} $$ et les inégalités centrales fournissent la contradiction.