Quelle est l'intersection d'un seul ensemble?

Question

Je lis actuellement quelques questions de théorie des ensembles pour une classe de statistiques et je suis tombé sur la notation suivante que je n'ai jamais vue auparavant, et je ne semble pas trouver ailleurs en ligne. L'équation en question est:$$ \mathcal{B} = \cap\{\mathcal{E}:\mathcal{D}\subset\mathcal{E} \text{ and } \mathcal{E} \text{ is a } \sigma \text{-field}\} $$Ma question est la suivante: que signifie le symbole d'intersection devant la notation du générateur d'ensemble? Comment puis-je prendre l'intersection d'un seul ensemble? Je demanderais à mon professeur, mais ils n'ont pas d'heures de bureau aujourd'hui et je préfère ne pas attendre trop longtemps pour ce qui semble être une question simple.

Answer 1

La notation $\cap A$ désigne généralement l'intersection de tous les ensembles contenus dans $A$, bien que tout le monde n'utilise pas cette notation. En utilisant la notion plus courante d'intersection sur un ensemble d'index, cela signifie que

$$ \cap A = \bigcap_{B\in A} B $$ tient, et que $A$ est un ensemble d'ensembles.

Dans votre cas, cela signifie $$ \mathcal{B} = \cap\{\mathcal{E}:\mathcal{D}\subset\mathcal{E} \text{ and } \mathcal{E} \text{ is a } \sigma \text{-field}\} = \bigcap_{\mathcal{E}:\mathcal{D}\subset\mathcal{E} \text{ and } \mathcal{E} \text{ is a } \sigma \text{-field}} \mathcal{E} $$