Quels types d'espaces peuvent être créés avec des complexes CW?
Venant d'un fond principalement d'algèbre et de géométrie, je suis curieux de savoir quels types d'espaces on peut construire en utilisant des complexes CW. Pour le dire franchement, ma question est:
Quelle catégorie "géométrique" est la plus grande pour construire (tous / certains / la plupart) les espaces topologiques de l'utilisation de complexes CW?
La page Wikipédia énumère plusieurs exemples ici , mais une perspective plus large sur le paysage des possibilités serait bien.
Il semble clair que tous les espaces topologiques ne sont pas des complexes CW: exiger que l'espace soit Hausdorff élimine de nombreux exemples «pathologiques» (par exemple la boucle d'oreille hawaïenne ), mais aussi de nombreux espaces d'intérêt (par exemple les espaces avec topologie Zariski).
Du côté positif, les polyèdres sont, et les plus belles variétés sont des complexes (homotopie équivalente à) CW ( voir ici ). De plus, selon la page Wikipedia, les variétés algébriques réelles et complexes (en utilisant leurs topologies euclidiennes je suppose) sont des complexes CW. Je soupçonne également que les types d'espaces stratifiés étudiés en homologie d'intersection ( pseudomanifolds topologiques? ) Sont de bons candidats.
Peut-être que ma vision géométrique est également trop contrainte, tous les types d'espaces CW qui surviennent lors de l'analyse sont également les bienvenus.
Réponses
Cela dépend de votre point de vue et, à bien des égards, c'est une question difficile à répondre.
Par exemple, j'étudie la topologie algébrique. Ce qui est important pour moi, c'est que, comme remarqué dans les commentaires, chaque espace topologique est faiblement homotopique équivalent à un complexe CW. Dans un certain sens (et avec une quantité appropriée d'agitation de la main), la catégorie des complexes CW est le "réglage correct" pour faire la théorie de l'homotopie. C'est une réponse possible à votre question initiale.
Cependant, d'un autre point de vue, ce n'est pas le bon réglage pour quoi que ce soit, et le point de vue en question dépend de ce que vous entendez par «catégorie géométrique». Êtes-vous un géomètre algébrique? Un géomètre différentiel? Un analyste? Êtes-vous sûr de vouloir limiter uniquement les espaces topologiques? Ont-ils besoin d'être métrisables?
Le point que j'essaie de faire comprendre est que vous voulez probablement (et avez vraiment besoin) d'avoir une notion appropriée de «similitude» à l'esprit lorsque vous posez des questions du type «quels espaces sont des complexes CW?». Ce que vous demandez vraiment, c'est "Quels espaces sont identiques aux complexes CW?". Homotopie équivalente? Homéomorphe? Difféomorphe? Isométrique? Égal? C'est plus qu'un simple point philosophique.
De nouveau, comme indiqué dans les commentaires, la "plus grande catégorie qui peut être construite à partir de complexes CW" est la catégorie des complexes CW. Les objets sont des complexes CW et les cartes entre eux sont des cartes de complexes CW. Il existe une multitude de réponses à ces questions disponibles dans de nombreux endroits. Celui qui n'a pas été mentionné dans les commentaires - et qui est de nature analytique - est un espace de Hilbert de dimension infinie. Ce n'est pas un complexe CW. Les variétés différentiables ont le type d'homotopie des complexes CW. La boucle d'oreille hawaïenne ne le fait pas.
EDIT: En réponse à votre commentaire, un exemple de complexe CW qui n'est pas une variété est (par exemple)$S^1 \vee S^1$.