Question objective d'analyse réelle.

Question

Je ne sais pas exactement comment le résoudre mais ma tentative est la suivante

$$f’(x)=\sin^4(2g(x))$$La fonction est donc différentiable car la composition de deux fonctions différentiables est la différenciation. Maintenant, il a une infinité de zéros parce que sin (x) a une infinité de nombreux zéro. Veuillez suggérer. Merci .

Answer 1

Vous devez utiliser le $\mathscr{chain \ rule}$ et le $\mathrm{FTC}$ ici.

Si $f(x) = \int_0^{g(x)} \sin^4(2t)dt$, ensuite $f(x) = h(g(x))$ où $h(u) = \int_0^u \sin^4(2t)dt$.

Ainsi, $f'(x) = h'(g(x))g'(x)$. Mais$h'(u) = \sin^4(2u)$ par FTC, donc: $$ f'(x) = \sin^4(2g(x))g'(x) $$

---

Depuis $g$est différentiable, il est continu, et comme il est continu, il a la propriété de valeur intermédiaire. Depuis$g$ est illimité, il est facile de voir que pour assez grand $N$, les quantités $\{n\pi : n \in \mathbb N , n > N\}$ se situera dans la gamme de $g$. Pour$n > N$, laisser $x_n$ être tel que $g(x_n) = n\pi$. D'en haut,$f'(x_n) = 0$. Ainsi$f'$ en fait a une infinité de zéros.