Question sur l'espace vectoriel et le sous-espace

Question

Laisser $A = \{(x, y, z, w) \in \mathbb F^4 | x - 3y + w = -7\}$. Est$A$un espace vectoriel? Est-ce un sous-espace?

Je veux juste confirmer si je le fais bien ou pas.

Pour $A$ pour être un espace vectoriel, il doit satisfaire la propriété de fermeture à l'addition.

Laisser $a_1 = (x_1, y_1, z_1, w_1)$ et $a_2 = (x_2, y_2, z_2, w_2)$.

$$\tag{1} x_1 - 3y_1 + w_1 = -7,$$

$$\tag{2}x_2 - 3y_2 + w_2 = -7,$$

$$a_1 + a_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, w_1 + w_2)$$

$$a_1 + a_2 = (x_1 + x_2) - 3 ( y_1 + y_2) + (w_1 + w_2) = -7$$

$a_1 + a_2$ est un élément de $A$. En ajoutant (1) et (2) nous obtenons,

$$(x_1 + x_2) - 3(y_1 + y_2) + (w_1 + w_2) = -14.$$

$a_1 + a_2$ n'est pas un élément de $A$. Par conséquent$A$ n'est pas un espace vectoriel ni un sous-espace.

Est ce juste?

Answer 1

Non, vous ne le faites pas correctement. Votre travail n'est pas nécessairement incorrect, mais vous avez manqué le but de l'exercice.

L'ensemble donné ne contient pas l'élément $(0,0,0,0)$. Par conséquent, ce n'est pas un sous-espace de$\mathbb{F}^4$. Ce n'est même pas un espace vectoriel si nous considérons la multiplication scalaire par entrée et l'ajout de vecteurs.

Vous avez en quelque sorte manqué des étapes importantes. Afin de vérifier si quelque chose est un espace vectoriel, vous devez vérifier tout un tas d'axiomes différents (8 axiomes différents, selon le livre dans lequel vous avez appris). Afin de vérifier si quelque chose est un sous-espace d'un espace vectoriel donné, vous devez simplement vérifier qu'il satisfait la fermeture sous les deux opérations et contient l'identité additive de l'espace vectoriel. Vous devriez revoir ces définitions avant de résoudre d'autres problèmes.

Answer 2

Chaque sous-espace vectoriel doit contenir l'origine. Les lignes et les plans qui passent par les sous-espaces vectoriels d'origine.