Question sur la solution: processus de Poisson et espérance conditionnelle

Question

Compte tenu du problème suivant:
Alice apparaît sur un cluster Athena à la fois$0$et passe son temps exclusivement à taper des e-mails. Les heures d'envoi de ses e-mails sont un processus de Poisson avec taux$\lambda_A$par heure. Laisser$Y_1$heure à laquelle le premier e-mail d'Alice a été envoyé. Vous vous présentez à l'heure$1$et on vous dit qu'Alice a envoyé exactement un e-mail jusqu'à présent. Quelle est l'attente conditionnelle de$Y_1$ donné cette information?

Solution:
laissez$A$ être l'événement $\{$exactement une arrivée dans l'intervalle $[0,1]\}$. Donné$A$, les heures de cet intervalle sont également probables pour l'arrivée $Y_1$. Donc,$E[Y_1 | A] = \frac{1}{2}$.

Je suis complètement perdu parce que $Y_1 \sim\exp(\lambda_A)$, alors ne devrais-je pas simplement calculer la valeur attendue pour exp. RV sur intervalle$[0,1]$? Pourquoi mon approche est-elle erronée?

Answer 1

C'est en fait un problème bayésien. Temps$Y_1$ si vous ne connaissez pas le nombre de mails au moment 1 , est distribué de manière exponentielle, vous avez raison. Mais lorsque vous obtenez les informations supplémentaires qu'au moment 1, Alice n'a envoyé qu'un seul e-mail, vous devez mettre à jour votre distribution de$Y_1$. Application de la règle de Bayes:

$$p(Y_1|emails_1 = 1) \propto p(emails_1 = 1|Y_1)p(Y_1).$$

Donc vous avez la distribution exponentielle $p(Y_1)$ que nous comprenons déjà, et l'autre chose étrange $p(emails_1 = 1|Y_1)$ qui est la probabilité de ne pas avoir d'autre courrier envoyé après le premier, jusqu'au temps 1, donné $Y_1$. C'est égal à$\int_1^\infty p(Y_2|Y_1) dY_2$ et il augmente comme $Y_1$ se rapproche de 1. En fait, comme l'intégrale d'une fonction exponentielle est également exponentielle, il s'avère, avec quelques passages, que $p(emails_1 = 1|Y_1) = exp(1-Y_1)$, donc:

$$p(Y_1|emails_1 = 1) \propto exp(Y_1)exp(1-Y_1) \propto 1$$

où $exp$est la densité de distribution esponentielle, quel que soit le paramètre de taux (égal). Le dernier passage est facilement vérifiable en multipliant ces densités exponentielles.

Votre distribution mise à jour de $Y_1$ est uniforme et la valeur attendue peut être immédiatement dérivée.

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Si vous souhaitez une explication beaucoup plus courte et plus intuitive, sachez que le processus de Poisson est symétrique et que la distribution de $Y_1$est le même regard de 0 et de 1, donc bien sûr sa valeur attendue doit être 0,5. Cette explication ne tient cependant pas compte du reste de sa distribution.