Rayon de convergence d'une série complexe

Question

Bonsoir, les gens.

J'essaye de trouver le rayon de convergente de la série $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (4+(-1)^n )^n z^n$

J'ai essayé d'utiliser le théorème qui dit que $ r = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} |\frac{a_{n}}{a_{n+1}}|$. Cependant, je pourrais résoudre cette limite.

J'ai donc fait ce qui suit:

$$ \sum\limits_{n=0}^{\infty} (4+(-1)^n )^n z^n = \sum\limits_{k=0}^{\infty} 3^{2k+1}z^{2k+1} + \sum\limits_{k=0}^{\infty}5^{2k}z^{2k}$$

Et dit que le rayon de convergence de la série du côté gauche est le plus petit rayon entre les deux séries du côté droit.

Est-ce correct? Il existe un moyen simple de trouver le rayon de convergence?

Merci.

Answer 1

Oui, c'est exact, sauf qu'en anglais le mot "series" est soit au singulier, soit au pluriel, c'est-à-dire que l'on écrit "This series is ..." ou "These series are ..."

Il y a un théorème qui affirme que les séries de puissance convergent absolument en tout point à l' intérieur de leurs cercles de convergence (mais peuvent converger conditionnellement en un point sur la frontière; cependant, cela n'est pas préoccupant ici).

Si la convergence est absolue, alors la série peut être "réorganisée" sans modifier la somme. En particulier,$$ \sum_{n\,=\,0}^\infty t_n = \sum_{n\,\in\,A} t_n + \sum_{n\,\in\,B} t_n $$ si $A,B$ sont des ensembles disjoints dont l'union est $\{0,1,2,\ldots\}.$

Si les deux séries de droite convergent absolument, il en va de même pour la série de gauche.

Si la série de gauche converge absolument, il en va de même pour les deux séries de droite.