Réaliser un carré commutatif comme un pullback

Question

J'essaie de prouver dans une petite catégorie locale$\mathsf{C}$cela donné$f:a\to b$et$g:c\to d$que l'ensemble des carrés commutatifs

$$ Sq(f,g) \;\; =\;\; \left \{ \begin{array}{ccc} a & \rightarrow & c \\ \downarrow^f & \quad & \downarrow^g \\ b& \rightarrow &d \\ \end{array} \right \} $$

peut être réalisé comme un pullback dans la catégorie$\mathsf{Set}$. Le seul résultat que j'essaie d'utiliser ici est le fait que les limites de$\mathsf{Set}$Les foncteurs à valeurs peuvent être réalisés comme des égaliseurs de la forme

$$ \lim F \;\; \longrightarrow\;\; \prod_{j \in Ob(J)} Fj \;\; \rightrightarrows \;\; \prod_{f \in Mor(J)} F(cod\; f) $$

En essayant d'interpréter cette déclaration d'égaliseur dans le contexte de la déclaration, ma meilleure supposition était d'interpréter

$$ \prod_{j \in Ob(J)} Fj \;\; =\;\; a\times c \hspace{2pc} \text{and} \hspace{2pc} \prod_{f \in Mor(J)} F(cod\; f) \;\; =\;\; b\times d. $$

Alors les deux morphismes non identitaires devraient être des cartes qui envoient$a\to b$et$c\to d$, mais alors l'énoncé de preuve semble vaguement vrai. Je suis sincèrement perdu et je cherche des conseils. C'est l'exercice de Riehl 3.2.iii.

Answer 1

L'astuce pour traduire un ensemble en une propriété universelle est de noter que "l'ensemble de tous$P$" peut être séparé :

• $P$est l'endroit où vous obtenez la forme de votre diagramme
• "ensemble de tous" est la partie universelle de la propriété universelle

Juste pour illustrer, pour$X$et$Y$ensembles,$X\times Y$est "l'ensemble de toutes les paires$(x,y)$pour$x\in X$et$y\in Y$", la partie paires étant le schéma$\{X\quad Y\}$, alors "ensemble de tous" prend la limite de ce diagramme.

Dans ce cas, nous essayons de prendre l'ensemble de tous les carrés commutatifs avec$f$et$g$parallèle. L'interprétation du résultat que vous indiquez sur une limite étant un égaliseur de produits vous indique qu'une limite arbitraire peut être construite (en$\mathbf{Set}$) en collectant tous les ingrédients (c'est-à-dire, forment ces produits) puis en les soumettant à des contraintes (c'est-à-dire, forment l'égaliseur). Pour un recul de$A\xrightarrow pB\xleftarrow qC$, le diagramme d'égalisation est$$ A\times_BC \to A\times B\times C \rightrightarrows B\times B $$où les cartes$A\times B\times C\to B\times B$sont donnés par$A\times B\times C\xrightarrow\pi A\times B\xrightarrow{p\times B} B\times B$(où$\pi$est une projection) et de même pour$q$. Vous remarquerez peut-être que c'est un peu redondant, et nous pouvons vraiment prendre le recul pour être l'égaliseur$$ A\times_BC \to A\times C\rightrightarrows B $$des cartes$A\times C\to A\to B$et$A\times C\to C\to B$. Dans tous les cas, cela nous permet d'interpréter le pullback$A\times_BC$comme "l'ensemble de toutes les paires$(a,c)$Pour qui$p(a)=q(c)$".

Maintenant, qu'est-ce qu'un carré commutatif impliquant$f$et$g$? Eh bien, c'est une paire de morphismes$u:a\to c$et$v:b\to d$tel que$\require{AMScd}$ \begin{CD} a @>u>> c \\ @VfVV @VVgV \\ b @>>v> d \end{CD} commute ; C'est,$g\circ u=v\circ f$. Alors,$\operatorname{Sq}(f,g)$est "l'ensemble de toutes les paires$(u,v)$tel que$g\circ u=v\circ f$", ce qui est exactement ce que décrit un pullback !

Pour terminer le travail, nous avons juste besoin de spécifier les ensembles.$u$vient de$\def\Hom{\operatorname{Hom}}\Hom(a,c)$et$v$à partir de$\Hom(b,d)$, alors que les deux composites se trouvent dans$\Hom(a,d)$, on obtient donc le carré de retrait \begin{CD} \operatorname{Sq}(f,g) @>>> \Hom(a,c) \\ @VVV @VVg\circ(-)V \\ \Hom( b,d) @>>(-)\circ f> \Hom(a,d) \end{CD}