Régression linéaire avec 2 variables catégorielles différentes

Oct 24 2020

Je ne sais pas comment les données sont stockées pour 2 variables catégorielles, considérons l'exemple où nous testons la réponse de y avec si quelqu'un dit oui ou non, avec une formule simple $y = \alpha + B_{1}x_{1}$
Je comprends que «oui» est représenté par $x_{1} = 1$, alors $y = \alpha + B_{1}$ et «non» serait représenté par $x_{1} = 0$ et $y = \alpha$,
Mon problème survient lorsque nous avons plus d'une variable catégorielle.
Supposons qu'en plus de cet exemple, nous ayons maintenant un autre prédicteur indépendant de «oui» et de «non», par exemple, disons 3 niveaux, froid, moyen, chaud. Notre nouveau modèle devrait ressembler à
$y = \alpha + B_{1}x_{1} +B_{2}x_{2} +B_{3}x_{3}$
où froid est quand x2 et x3 valent tous les deux 0.
Cela implique-t-il que l'interception est maintenant partagée entre «froid» et «non»? Et comment pouvons-nous obtenir le «froid» séparément? Serait-il encore possible d'obtenir du «froid» séparément? Parce que nous pouvons définir x2 et x3 = 0, mais si nous choisissons x1 = 1, nous disons que «oui» est vrai mais je veux maintenir la constante des variables {oui, non} dans ce cas. Si nous définissons x1, x2, x3 = 0, ce que cela veut dire, c'est que «non» est sélectionné et «froid» est sélectionné, y a-t-il un moyen de sélectionner simplement «froid» maintenant? Comment interpréter l'interception si elle est statistiquement significative maintenant?

Toute aide serait appréciée.

Réponses

3 IsabellaGhement Oct 24 2020 at 12:03

Bonne question! Il est recommandé d'indiquer vos modèles en incluant le terme d'erreur. Par exemple, votre premier modèle doit être indiqué comme suit:

$y = \alpha + \beta_{1}x_{1} + \epsilon$.

Pour faciliter ma réponse, je suppose que $x_1$ représente le genre de telle sorte que $x_1 = 0$ pour les hommes et $x_1 = 1$pour les femelles. Je suppose également que$y$ représente le revenu.

Dans cet esprit, le modèle ci-dessus peut être considéré comme un ensemble de deux sous-modèles: un sous-modèle pour les hommes et l'autre pour les femmes.

Sous-modèle pour les hommes: $y = \alpha + \epsilon$

Sous-modèle pour les femmes: $y = \alpha + \beta_{1} + \epsilon$

Imaginez que vous vous trouvez dans un environnement dans lequel vous souhaitez déterminer s'il existe une différence de revenu moyen entre les hommes et les femmes d'une grande entreprise. Le sous-modèle pour les hommes indique que le revenu moyen des salariés masculins de l'entreprise est égal à$\alpha$. Le sous-modèle pour les femmes indique que le revenu moyen des salariées est égal à$\alpha + \beta_{1}$. La différence de revenu moyen entre les employés féminins et masculins de l'entreprise est$\alpha + \beta_{1} - \alpha = \beta_{1}$.

Comme vous pouvez le voir, l'inclusion d'une seule variable fictive pour le sexe dans votre modèle divise votre population cible - dans cet exemple, les employés d'une grande entreprise - en 2 sous-populations: les hommes et les femmes. Pour chaque sous-population, vous postulez un modèle qui décrit la valeur moyenne de votre variable de résultat y (revenu) en fonction du sexe.

Lorsque vous incluez plusieurs variables fictives dans votre modèle, vous vous retrouvez avec plus de sous-populations et donc plus de sous-modèles. Par exemple, si$x_2$ et $x_3$ sont des variables fictives utilisées pour encoder le niveau d'éducation d'un employé (lycée, diplômé ou postuniversitaire), vous auriez 2 x 3 = 6 sous-populations et donc 6 sous-modèles si vous incluiez le mannequin pour le sexe et les mannequins pour le niveau d'éducation dans votre modèle complet:

$y = \alpha + \beta_{1}x_{1} + \beta_{2}x_{2} + \beta_{3}x_{3} + \epsilon$.

Disons que $x_{2} = 1$ pour les études supérieures et 0 autre; $x_{3} = 1$pour l'enseignement post-universitaire et 0 autre. Ensuite, vos sous-modèles seraient les suivants.

Sous-modèle pour les hommes diplômés du secondaire: $y = \alpha + \epsilon$

Sous-modèle pour les hommes diplômés: $y = \alpha + \beta_2 + \epsilon$

Sous-modèle pour les hommes ayant fait des études supérieures: $y = \alpha + \beta_3 + \epsilon$

Sous-modèle pour les femmes diplômées du secondaire: $y = \alpha + \beta_1 + \epsilon$

Sous-modèle pour les femmes diplômées: $y = \alpha + \beta_1 + \beta_2 + \epsilon$

Sous-modèle pour les femmes ayant fait des études supérieures: $y = \alpha + \beta_1 + \beta_3 + \epsilon$

De ce qui précède, vous pouvez voir que $\alpha$représente le revenu moyen des hommes ayant fait des études secondaires. Alors$\alpha$a une interprétation spécifique dans votre modèle complet, ce qui est plus évident si vous vous référez au sous-modèle pour les hommes ayant un diplôme d'études secondaires. Si vous effectuez un test des hypothèses:

Ho: $\alpha = 0$ vs Ha: $\alpha \neq 0$

dans votre modèle complet, vous testez simplement:

Ho: le revenu moyen des employés de sexe masculin ayant fait des études secondaires est de zéro vs Ha: le revenu moyen des employés de sexe masculin ayant fait des études secondaires est différent de zéro

Ces hypothèses ne sont pas significatives dans cet exemple, car vous ne pouvez pas avoir un revenu moyen de zéro ou bien vous seriez affamé. Mais vous voyez l'idée.