Remplacement Kan de fini $\mathbb{Q}$-type ensemble simplicial

Question

Désolé si cette question est peut-être un peu basique, mais c'est sur un sujet plutôt spécialisé donc je pense qu'elle est plus appropriée pour MO que SE.

Supposer que $X$est un ensemble simplicial qui a un nombre fini de simplices non dégénérés dans chaque dimension simplicial. Alors bien sûr$X$ a fini $\mathbb{Q}$-type (ie $H_n(X;\mathbb{Q})$ est de dimension finie comme $\mathbb{Q}$-espace vectoriel pour tous $n\ge1$).

Laisser $Y$ être une résolution fibrée de $X$, C'est, $Y$ est un complexe Kan et nous avons une faible équivalence $X\stackrel{\sim}{\to}Y$. Je voudrais dire que$Y$ a aussi fini $\mathbb{Q}$-taper. Est-ce vrai?

C'est là que je suis coincé: on sait qu'être de fini $\mathbb{Q}$-type équivaut à $\pi_n(Y;\mathbb{Q})$ est de dimension finie pour tous $n\ge2$ et $H_1(Y;\mathbb{Q})$est de dimension finie. La première partie de la condition est valable car elle est valable$X$ et $Y$ équivaut faiblement à $X$. Cependant, je ne sais pas comment montrer que$H_1(Y;\mathbb{Q})$ est de dimension finie.

Toute aide et / ou référence serait grandement appréciée! Je suis également itéré dans le cas où nous supposons seulement$X$ être de type fini (qui devrait fonctionner avec la même preuve, espérons-le).

Answer 1

De faibles équivalences d'ensembles simpliciaux induisent des isomorphismes sur des groupes d'homologie simpliciaux. En particulier, la propriété d'avoir des groupes d'homologie rationnelle de dimension finie est préservée sous des équivalences faibles.

Le moyen le plus simple de le prouver à partir de zéro est d'observer que le foncteur de module simplicial gratuit (dans ce cas, nous utilisons des modules sur des nombres rationnels) est un foncteur Quillen gauche de la structure du modèle Kan – Quillen sur les ensembles simplicial à la structure du modèle projectif sur modules simplicial car l'adjoint de droite préserve les fibrations et les fibrations acycliques. En particulier, le foncteur de module simplicial libre préserve les équivalences faibles car tous les ensembles simplicial sont cofibrants. Ainsi, des équivalences faibles d'ensembles simpliciaux sont envoyées à des équivalences faibles de modules simpliciaux, qui après passage à des chaînes normalisées deviennent des quasi-isomorphismes de complexes de chaînes, induisant donc des isomorphismes sur des groupes d'homologie.