Résolution de deux ODE couplés sans utilisation de nombres complexes

Question

Considérons un système d'ODE où $x, y$ sont des fonctions à déterminer.

$$ x'(t) = 2x(t) y(t) $$ $$ y'(t) = y^2(t) - x^2(t) $$

Il est assez simple de résoudre ce système en introduisant une fonction complexe $z(t) = x(t) + i y(t)$, mais je voudrais résoudre ce problème sans recourir à une analyse complexe. J'ai essayé une technique ordinaire pour réduire cela à une fonction unique mais à une équation différentielle du second ordre. Je reçois ce qui suit pour$x(t)$.

$$ 2x''(t) x(t) - 3 (x'(t))^2 + 4x^4(t) = 0 $$

Mais alors, je ne sais pas comment résoudre ce problème.

Je pense que la bonne solution est la suivante.

$$ x(t) = \frac{x(0)}{(1-ty(0))^2 + (tx(0))^2} $$ $$ y(t) = \frac{y(0)-t((x(0))^2-(y(0))^2)}{(1-ty(0))^2 + (tx(0))^2} $$

Answer 1

$$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=2xy\\ \frac{dy}{dt}=y^2-x^2 \end{cases} $$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-x^2}{2xy}$$ $$\frac{d(y^2)}{dx}=2y\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-x^2}{x}=\frac{y^2}{x}-x$$ Laisser $u(x)=y^2$ $$\frac{du}{dx}-\frac{u}{x}=-x$$ Il s'agit d'un ODE linéaire du premier ordre dont la méthode de résolution est bien connue. $$u(x)=c_1\:x-x^2$$ $$\boxed{y(x)=\pm\sqrt{c_1\:x-x^2}}\tag 1$$ $$\frac{dx}{dt}=\pm 2x\sqrt{c_1\:x-x^2}$$ $$dt=\pm\frac{dx}{2x\sqrt{c_1\:x-x^2}}$$ $$t=\pm\int \frac{dx}{2x\sqrt{c_1\:x-x^2}}=\pm \sqrt{\frac{c_1-x}{x}}+c_2$$ $$\boxed {x(t)=\frac{c_1}{1+(t-c_2)^2}} \tag 2$$ Ensuite, mettez Eq.$(2)$ dans Eq.$(1)$ pour trouver $y(t)$ .