Se joint et se réunit en précommande

Question

Dans un groupe de lecture, nous parcourons le livre de B. Fong et D. Spivak "Une invitation à la théorie des catégories appliquée, sept esquisses de compositionnalité", et nous sommes dans une proposition qui déclare: Soit$\mathcal P=(P,\leq)$être une précommande. Il a toutes les jointures si tout se réunit . Et, par exemple, la précommande suivante a toutes les jointures mais pas toutes les rencontres.

Le suivant est une capture d'écran de la preuve, et nous pensons que l'ensemble $M_A$ pourrait être l'ensemble vide, alors qu'est-ce qui ne va pas?

Merci pour toute aide.

Answer 1

Vous avez raison de dire que pour votre poset $P$ que le sous-ensemble $A = \{a, b \}$ n'a pas de rencontre, et que l'ensemble $M_A$ est l'ensemble vide.

C'est précisément là que le problème se produit: votre poset n'a pas toutes les jointures car il n'a pas de jointure de l'ensemble vide . Si vous vérifiez dans la définition ce que devrait signifier une jointure de l'ensemble vide, en travaillant dans les conditions vides, vous verrez qu'une jointure de l'ensemble vide est un élément du bas. Quel le poset$P$ n'a pas.

Il n'y a donc pas de contradiction à ce qu'il n'y ait $\{a, b \}$, parce que le poset n'a pas toutes les jointures.